Inequació
De Viquipèdia
Una inequació és una expressió matemàtica que es caracteritza per tenir els signes de desigualtat; essent una expressió algebraica ens dona com a resultat un conjunt en el qual la variable independent pot prendre el valor de qualsevol d'aquell conjunt complint aquesta desigualtat (interval)
Taula de continguts |
[edita] Desigualtats
A matemàtiques, una inequació és una expressió referida al tamany o ordre relatiu de dos objectes relatius. Per exemple;
-
- a>b a és major que b
-
- a<b a és menor que b
-
- a≤b a es mejor o igual que b
-
- a≥b a és major o igual que b
[edita] Propietats
-
- Si sumam o restam als dos membres de la desigualtat un nombre, n'obtendrem una d'equivalent; el mateix passa si multiplicam o dividim.
[edita] Intervals
Un interval és un conjunt de nombres; els resultats de les inequacions es representen mitjançant intervals.
- Si un dels símbols és > o < vol dir que l'interval no té el resultat de la inequació inclòs i s'utilitza "()"
- Si un dels símbols és ≤ o ≥ vol dir que l'interval té inclòs el resultat de la inequació i s'utilitza "[]"
-
- Quan en un dels intervals hi ha infinit, positiu o negatiu, el posarem sempre amb parèntesi, ja que no sabem fins a on arriba l'infinit.
- Quan la inequació no tingui solució, és a dir, no hi hagi cap interval el representarem com a conjunt buit (Ø)
- Exemple
-
-
- L'interval d'aquesta inequació serien, tots els nombres majors que 4, per tant seria: (4, + ∞)
-
[edita] Inequacions amb una incògnita
[edita] Resolució
Per resoldre una inequació simplement hem de descobrir el valor de la incògnita, per descobrir-ho hem de servir un procès semblant al de les equacions, però en vés de el signe = ens hi trobarem amb d'altres.
- Exemple
[edita] Representació
Les equacions de primer grau amb una sola incògnita es representen sobre una recta.
-
- A l'hora de representar hem de tenir conte el signe; si el nombre esta inclòs(≤, ≥), marcarem l'inici de la recta amb un claudàtor; si no esta inclòs (<,>) el marcarem amb un parèntesi.
-
- Si un dels extrems és infinit (∞), al final de la línia hi posarem una fletxa, que indica que el conjunt de nombres segueix.
[edita] Sistemes d'inequacions d'una incògnita
Resoldrem un sistema d'inequacions quan trobem la solucio que compleix alhora totes les inequacions del sistema.
Procés de resolució de sistemes d'una incognita: Es resolen separadament les inequacions i es busca l'interval comú a totes les solucions
Procés de resolució de sistemes de dues incognites: Es resolen separadament les inequacions i es busca la regió del pla comuna als semiplans solució
[edita] Inequacions quadràtiques
Una inequació és de segon grau quan conté un terme quadràtic de la incògnita.
Resolució gràfica: Es dibuixa la paràbola. Si l'inequació te el símbol >, les solucions son els intervals de fora de la corba. Si l'inequació te el símbol <, les solucions son l'interval de dins de la corba.
Resolució algebràica: Descomposem el polinomi en dos monomis (per Ruffini). Es poden dónar dos casos, a) o b)
- a) Si l'equació inicial compleix la desigualtat >0, vol dir que el resultat del producte dels monomis sempre serà positiu. Sabent això podem fer dos sistemes d'equacions: en un dels sistemes tots dos monomis seràn positius (>0) i en l'altre sistema tots dos monomis seràn negatius (<0). D'aquesta manera el producte d'aquests monomis sempre serà positiu, com volem que sigui, ja que, en el primer sistema: (+ · + = +); i en el segon sistema: (- · - = +).
- b) Si l'equació inicial compleix la desigualtat <0, vol dir que el producte dels dos monomis serà negatiu. Sabent això podrem fer dos sistemes d'equacions: en un dels sistemes el primer monomi serà positiu (>0) i el segon negatiu (<0) i en l'altre sistema el primer monomi serà negatiu i el segon positiu. D'aquesta manera el producte dels monomis que formin un mateix sistema d'equacions sempre serà negatiu, com nosaltres volem.
Sigui el cas a) o el cas b) la continuació per a resoldre l'inequació és la mateixa:
Extreus l'interval de cada un dels monomis (que són també inequacions de primer grau) i fas l'intersecció entre els intervals dels mateixos sistemes d'inequacions.
Llavors tendràs dos resultats, el de fer la intersecció entre els dos intervals del primer sistema d'inequacions i el de fer la intersecció entre els dos intervals del segon sistema d'inequacions. Fas la unió entre aquests dos resultats i el resultat d'aquesta unió ja serà la solució a la inequació quadràtica.
[edita] Inequacions amb dues incògnites
[edita] representació gràfica
[edita] Sistemes
[edita] Problemes que resolen les inequacions
Les inequacions son una bona eina en problemes on hi han moltes condicions a complir a la vegada. Cada condició te una solució que és un semipla en el pla d'incognites XY. Superposant tots els semiplans, ens quedarà la regió on els seus punts compleixen totes les condicions alhora.
