Fracci?? cont??nua

De Viquip??dia

Una fracci?? cont??nua es representa de la seg??ent manera:

$a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+...}}}}$

Els nombres $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ ... s???anomenen quocients incomplets. Per simplificar la notaci??, a vegades s'indica una fracci?? cont??nua especificant-ne tan sols els quocients. Aix??, la fracci?? anterior s'indicaria tamb?? per: $[a_1;a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots]$ .

Si el nombre de quocients incomplets ??s finit, ens trobem davant d???una fracci?? cont??nua finita. Si, en canvi, el nombre de quocients incomplets es repeteix indefinidament, ens trobem davant d???una fracci?? cont??nua peri??dica.

Dins d???aquest ??ltim grup (el de la fracci?? cont??nua peri??dica) podem distingir-ne dos subgrups:

La fracci?? cont??nua peri??dica pura, quan el primer quocient incomplet ??s el primer de la fracci?? cont??nua.
La fracci?? cont??nua peri??dica mixta, quan aix?? no es compleix.

Taula de continguts

1 Resoluci?? d???una fracci?? cont??nua finita
2 Resoluci?? d???una fracci?? cont??nua peri??dica
- 2.1 Peri??dica pura
- 2.2 Peri??dica mixta
3 Vegeu tamb??

[edita] Resoluci?? d???una fracci?? cont??nua finita

Posem que tenim la fracci??:

$4+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{7}}}}$

Podem resoldre la fracci?? com si fos una fracci?? ordin??ria:

$4+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{7}}}} = 4+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{7}{36}}} = 4+\frac{1}{3+\frac{36}{79}} = 4+\frac{79}{273} = \frac{1171}{273}$