Fracció contínua

De Viquipèdia

Una fracció contínua es representa de la següent manera:

$a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+...}}}}$

Els nombres $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ ... s’anomenen quocients incomplets. Per simplificar la notació, a vegades s'indica una fracció contínua especificant-ne tan sols els quocients. Així, la fracció anterior s'indicaria també per: $[a_1;a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots]$ .

Si el nombre de quocients incomplets és finit, ens trobem davant d’una fracció contínua finita. Si, en canvi, el nombre de quocients incomplets es repeteix indefinidament, ens trobem davant d’una fracció contínua periòdica.

Dins d’aquest últim grup (el de la fracció contínua periòdica) podem distingir-ne dos subgrups:

La fracció contínua periòdica pura, quan el primer quocient incomplet és el primer de la fracció contínua.
La fracció contínua periòdica mixta, quan això no es compleix.

Taula de continguts

1 Resolució d’una fracció contínua finita
2 Resolució d’una fracció contínua periòdica
- 2.1 Periòdica pura
- 2.2 Periòdica mixta
3 Vegeu també

[edita] Resolució d’una fracció contínua finita

Posem que tenim la fracció:

$4+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{7}}}}$

Podem resoldre la fracció com si fos una fracció ordinària:

$4+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{7}}}} = 4+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{7}{36}}} = 4+\frac{1}{3+\frac{36}{79}} = 4+\frac{79}{273} = \frac{1171}{273}$