Demostració que e és irracional
De Viquipèdia
En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e
pot ser utilitzat per a provar que e és irracional.
Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre
Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que 0 < x < 1 i que x és un nombre enter. Això es impossible, i aquesta contradicció estableix la irracionalitat de "e".
- Per a veure que x és un nombre enter, notem que
- Ara, per a tot n tal que
, hom veu que
és divisible per a
, ja que
és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que
també,
, és a dir, x és un nombre enter.
- Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que
car
- Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.