Cònica

De Viquipèdia

[edita] Definició

En matemàtiques, una cònica o superfície cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:

on A, B i C no són tots tres nuls.

[edita] Visió geomètrica

Tipus de seccions còniques

Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:

Si el pla no passa pel vèrtex del con, segons l'angle d'intersecció ens trobarem:
- El·lipse: una corba tancada. Un cas particular d'el·lipse és una circumferència si el pla de l'el·lipse és perpendicular a l'eix del con, és a dir, paral·lel a la base.
- Paràbola: una corba oberta.
- Hipèrbola: dues corbes obertes.
Si el pla passa pel vèrtex del con:
- Un punt
- Una recta
- Dues rectes.

Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.

[edita] Forma canònica

L'anterior equació $(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,$ la podem escriure de la forma matricial $X^\prime MX=0\,$

On: $X=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\,$

$M=\begin{pmatrix}A & C & D \\ C & B & E \\ D & E &F \end{pmatrix}\,$

Segons la forma canònica que adopti la matriu $M\,$ , trobem les diferents solucions que tenen les còniques ( $a,b,m\,$ són valors reals, diferents de $0\,$ ):

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,$	el·lipse imaginària.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,$	el·lipse real.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,$	dues rectes imaginàries no paral·leles.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,$	hipèrbola.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,$	dues rectes reals no paral·leles.
$y=mx^{2}\,$	paràbola.
$a^{2}x^{2}=-1\,$	dues rectes imaginàries paral·leles.
$a^{2}x^{2}=1\,$	dues rectes reals paral·leles.
$mx^{2}=0\,$	dues rectes coincidents.
$x=0\,$	una recta real.