Teor??a del caos

Una parcela de la Lorenz atractor para los valores r = 28, σ = 10, b = 8/3

En las matem??ticas y la f??sica , la teor??a del caos se describe el comportamiento de ciertos no lineal sistemas din??micos que pueden presentar din??micas que son altamente sensibles a las condiciones iniciales (denominados popularmente como el efecto mariposa). Como resultado de esta sensibilidad, que se manifiesta como un crecimiento exponencial de las perturbaciones en las condiciones iniciales, el comportamiento de los sistemas ca??ticos parece ser azar. Esto sucede a pesar de que estos sistemas son determinista, lo que significa que la din??mica de sus futuros est??n totalmente definidas por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. Este comportamiento se conoce como el caos determinista, o simplemente caos.

Visi??n de conjunto

Comportamiento ca??tico se ha observado en el laboratorio en una variedad de sistemas, incluyendo circuitos el??ctricos, l??seres , oscilantes reacciones qu??micas , din??mica de fluidos, y dispositivos mec??nicos y magneto-mec??nicas. Las observaciones de comportamiento ca??tico en la naturaleza incluyen la din??mica de los sat??lites en el sistema solar , la evoluci??n temporal de la el campo magn??tico de los cuerpos celestes, crecimiento de la poblaci??n en la ecolog??a , la din??mica de los potenciales de acci??n en las neuronas, y vibraciones moleculares. Ejemplos cotidianos de los sistemas ca??ticos incluyen tiempo y el clima . Existe cierta controversia sobre la existencia de una din??mica ca??tica en las placas tect??nicas y en la econom??a .

Los sistemas que exhiben caos matem??tico son deterministas y as?? ordenada en alg??n sentido; este uso t??cnico de la palabra caos est?? en desacuerdo con el lenguaje com??n, lo que sugiere un completo desorden. Un campo relacionado de la f??sica llamada sistemas cu??nticos estudios teor??a del caos que siguen las leyes de la mec??nica cu??ntica . Recientemente, otro campo, llamado caos relativista, ha surgido para describir sistemas que siguen las leyes de la relatividad general .

Adem??s de ser ordenada en el sentido de ser determinista, los sistemas ca??ticos tienen generalmente bien definidos estad??sticas . Por ejemplo, el Sistema de Lorenz en la foto es ca??tica, pero tiene una estructura claramente definida. Caos acotada es un t??rmino ??til para describir modelos de trastorno.

Historia

Fractal helecho creado usando caos juego. Las formas naturales (helechos, nubes, monta??as, etc.) pueden ser recreados a trav??s de un Sistema iterativo de funciones (IFS).

El primer descubridor del caos plausiblemente puede argumentar que ser Jacques Hadamard, quien en 1898 public?? un influyente estudio del movimiento ca??tico de una part??cula libre se desliza sin fricci??n sobre una superficie de curvatura negativa constante. En el sistema estudiado, Billar de Hadamard, Hadamard fue capaz de demostrar que todas las trayectorias son inestables, en que todas las trayectorias de las part??culas divergen de manera exponencial el uno del otro, con un positivo Exponente de Lyapunov.

A principios de la d??cada de 1900 Henri Poincar??, mientras que el estudio de la problema de tres cuerpos, encontraron que no puede haber ??rbitas que son no peri??dica, y sin embargo no siempre aumenta ni acercarse a un punto fijo. Gran parte de la primera teor??a se desarroll?? casi en su totalidad por los matem??ticos, con el nombre de teor??a erg??dica. Estudios posteriores, tambi??n en el tema de ecuaciones diferenciales no lineales, se llevaron a cabo por GD Birkhoff, AN Kolmogorov, ML Cartwright, JE Littlewood, y Stephen Smale. A excepci??n de Smale, estos estudios fueron inspirados directamente por la f??sica: el problema de los tres cuerpos en el caso de Birkhoff, la turbulencia y problemas astron??micos en el caso de Kolmogorov, y la ingenier??a de radio en el caso de Cartwright y Littlewood. Aunque no se hab??a observado el movimiento planetario ca??tico, los experimentadores hab??an encontrado turbulencia en el movimiento del fluido y la oscilaci??n no peri??dica en los circuitos de radio sin el beneficio de una teor??a para explicar lo que estaban viendo.

A pesar de ideas iniciales en la primera mitad del siglo, la teor??a del caos se formaliz?? como tal s??lo despu??s de mediados de siglo, cuando se hizo evidente por primera vez para algunos cient??ficos que teor??a lineal, la teor??a del sistema imperante en ese momento, simplemente no pod??a explicar el comportamiento observado de ciertos experimentos como el de la mapa log??stico. Lo que hab??a sido previamente excluidos como medir la imprecisi??n y simple " ruido "fue considerado por las teor??as del caos como un componente completo de los sistemas estudiados.

El principal catalizador para el desarrollo de la teor??a del caos fue la electr??nica equipo . Gran parte de las matem??ticas de la teor??a del caos implica la iteraci??n repetida de f??rmulas matem??ticas simples, lo que ser??a poco pr??ctico hacerlo a mano. Ordenadores electr??nicos hacen estos c??lculos repetidos pr??ctico, mientras que las cifras y las im??genes han permitido visualizar estos sistemas. Uno de los primeros ordenadores electr??nicos digitales, ENIAC, se utiliza para ejecutar los modelos de predicci??n meteorol??gica simples.

La turbulencia en el torbellino de punta de un ala de avi??n. Los estudios de la punto cr??tico m??s all?? del cual un sistema crea turbulencia era importante para la teor??a del caos, analiza, por ejemplo, por el f??sico sovi??tico Lev Landau que desarroll?? el Teor??a de Landau-Hopf de turbulencia. David Ruelle y Floris Takens m??s tarde predijo, en contra de Landau, que turbulencia del fluido podr??a desarrollar a trav??s de una atractor extra??o, un concepto central de la teor??a del caos.

Uno de los pioneros de la teor??a era Edward Lorenz cuyo inter??s en el caos se produjo accidentalmente a trav??s de su trabajo en la predicci??n del tiempo en 1961 . Lorenz estaba usando un sencillo digital de la computadora , un Royal McBee LGP-30, para ejecutar su simulaci??n meteorol??gica. Quer??a ver una secuencia de datos de nuevo y para ahorrar tiempo comenz?? la simulaci??n en el medio de su curso. ??l fue capaz de hacer esto al introducir una copia impresa de los datos correspondientes a las condiciones en el medio de su simulaci??n que hab??a calculado la ??ltima vez.

Para su sorpresa, el tiempo que la m??quina comenz?? a predecir era completamente diferente del tiempo calculado antes. Lorenz rastreado esto a la impresi??n de la computadora. El equipo trabaj?? con una precisi??n de 6 d??gitos, pero la impresi??n redondea las variables fuera a un n??mero de 3 d??gitos, por lo que un valor como 0.506127 fue impreso como 0,506. Esta diferencia es muy peque??a y el consenso en el momento habr??a sido que deber??a haber tenido pr??cticamente ning??n efecto. Sin embargo Lorenz hab??a descubierto que los peque??os cambios en las condiciones iniciales producen grandes cambios en el resultado a largo plazo. El descubrimiento de Lorenz, que dio su nombre a Atractores de Lorenz, demostraron que la meteorolog??a no pod??a predecir razonablemente el tiempo m??s all?? de un per??odo semanal (como m??ximo).

El a??o anterior, Benoit Mandelbrot encontr?? patrones recurrentes en todas las escalas de datos sobre los precios del algod??n. Antes, hab??a estudiado teor??a de la informaci??n y concluy?? ruido fue modelado como una Conjunto de Cantor: per??odos en cualquier escala, la proporci??n de los per??odos que contiene ruido libre de errores era un constant-- tanto errores eran inevitables y deben ser planificadas para la incorporaci??n redundancia. Mandelbrot describe tanto el Efecto No?? (en el que pueden ocurrir repentinos cambios discontinuos, por ejemplo, en los precios de una acci??n despu??s de una mala noticia, por lo tanto dif??cil de distribuci??n normal teor??a en las estad??sticas , tambi??n conocido como la curva de Bell) y el Joseph efecto (en la que la persistencia de un valor puede ocurrir durante un tiempo, sin embargo, cambia de repente despu??s). En 1967, public?? ??Qu?? longitud tiene la costa de Gran Breta??a? Estad??stica auto-similaridad y fraccional dimensi??n, lo que demuestra que la longitud de una l??nea costera var??a con la escala del instrumento de medici??n, se parece a s?? mismo a todas las escalas, y es infinita en longitud para un dispositivo de medici??n infinitamente peque??o. Argumentando que aparece una bola de hilo sea de 1 dimensi??n (ahora), en 3 dimensiones (bastante cerca), o 1-dimensional (cerrar), argument?? que las dimensiones de un objeto son en relaci??n con el observador y pueden ser fraccionada. Un objeto cuya irregularidad es constante en diferentes escalas ("auto-similitud") es un fractal (por ejemplo, la Curva de Koch o " copo de nieve ", que es infinitamente larga todav??a encierra un espacio finito con dimensiones = 1,2618; o la Menger esponja y la Junta de Sierpinski). En 1975 public?? Mandelbrot La geometr??a fractal de la naturaleza, que se convirti?? en un cl??sico de la teor??a del caos. Los sistemas biol??gicos, tales como la ramificaci??n de los sistemas circulatorio y bronquiales probaron para ajustar un modelo fractal.

Yoshisuke Ueda identificado independientemente un fen??meno ca??tico como tal por el uso de un computadora anal??gica el 27 de noviembre de 1961. El caos exhibido por una computadora anal??gica es un fen??meno real, en contraste con aquellos que las computadoras digitales calculan, que tiene un tipo diferente de l??mite de precisi??n. Profesor supervisor de Ueda, Hayashi, no cre??a en el caos, y por lo tanto se proh??be Ueda publicar sus hallazgos hasta 1970 .

En diciembre de 1977 el Academia de Ciencias de Nueva York organiz?? el primer simposio sobre el caos, a la que asistieron David Ruelle, Robert May, James Yorke (quien acu???? el t??rmino "caos" como se usa en las matem??ticas), Robert Shaw (un f??sico, parte de la Grupo Eudaemons con J. Doyne Farmer y Norman Packard que intent?? encontrar un m??todo matem??tico para vencer ruleta y, luego cre?? con ellos el Colectivo Sistemas Din??micos en Santa Cruz), y el meteor??logo Edward Lorenz.

El a??o siguiente, Mitchell Feigenbaum public?? el art??culo se??alado "Quantitative Universalidad para una clase de Transformaciones no lineales", donde describi?? mapas log??sticos. Feigenbaum hab??a aplicado la geometr??a fractal para el estudio de las formas naturales, tales como l??neas de costa. Feigenbaum notablemente descubri?? la universalidad en el caos, lo que permite una aplicaci??n de la teor??a del caos a muchos fen??menos diferentes.

En 1979, Albert J. Libchaber, durante un simposio organizado en Aspen por Pierre Hohenberg, present?? su observaci??n experimental de la cascada de bifurcaci??n que conduce al caos y la turbulencia en convectivo Sistemas de Rayleigh-Benard. Fue galardonado con el Premio Wolf en F??sica en 1986 junto con Mitchell J. Feigenbaum "por su demostraci??n brillante experimental de la transici??n a la turbulencia y el caos en los sistemas din??micos".

La Academia de Ciencias de Nueva York y luego co-organizada, en 1986, con la Instituto Nacional de Salud Mental y la Oficina de Investigaci??n Naval de la primera conferencia importante sobre el caos en la biolog??a y la medicina. Bernardo Huberman presenta de esta manera un modelo matem??tico de la trastorno de seguimiento de los ojos de los esquizofr??nicos . La teor??a del caos posteriormente renovado la fisiolog??a en la d??cada de 1980, por ejemplo, en el estudio de la patol??gica ciclos card??acos.

En 1987, Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld public?? un art??culo en Cartas Physical Review describen por primera vez criticidad auto-organizada (SOC), considerado como uno de los mecanismos por los cuales complejidad surge en la naturaleza. Junto enfoques en gran parte de laboratorio basado, como el Bak-Tang-Wiesenfeld pila de arena, muchas otras investigaciones se han centrado en los sistemas naturales o sociales a gran escala que se sabe (o sospecha) para mostrar escala invariante comportamiento. Si bien estos m??todos no siempre fueron bienvenidos (al menos inicialmente) por especialistas en los temas que se estudian, SOC ha, sin embargo, llegar a establecerse como un fuerte candidato para explicar una serie de fen??menos naturales, como: terremotos (que, mucho antes de SOC fue descubierto, eran conocidos como una fuente de comportamiento invariante en escala como el La ley de Gutenberg-Richter que describe la distribuci??n estad??stica de los tama??os del terremoto, y la Ley Omori describir la frecuencia de r??plicas); erupciones solares; fluctuaciones en los sistemas econ??micos como los mercados financieros (referencias a SOC son comunes en econof??sica); formaci??n del paisaje; incendio forestal; deslizamientos de tierra; epidemias; y la evoluci??n biol??gica (donde SOC se ha invocado, por ejemplo, como el mecanismo din??mico detr??s de la teor??a del "equilibrio puntuado" propuesto por Niles Eldredge y Stephen Jay Gould ). Preocupante, dadas las implicaciones de una la distribuci??n libre de escala de tama??os de eventos, algunos investigadores han sugerido que otro fen??meno que debe ser considerado un ejemplo de SOC es la ocurrencia de guerras . Estas investigaciones "aplicaci??n" del SOC han incluido dos intentos de modelado (ya sea en desarrollo de nuevos modelos o adaptar las existentes a las caracter??sticas espec??ficas de un sistema natural dado), y el an??lisis de datos extensos para determinar la existencia y / o caracter??sticas de leyes de escala naturales.

El mismo a??o, James Gleick public?? Caos: la creaci??n de una ciencia, que se convirti?? en un best-seller y present?? los principios generales de la teor??a del caos, as?? como su historia para el p??blico en general. Al principio, los ??mbitos de trabajo de unos pocos individuos, aislados, la teor??a del caos surgi?? progresivamente como transdisciplinar y disciplina institucional, principalmente bajo el nombre de an??lisis de sistemas no lineales. Aludiendo a Thomas Kuhn concepto de una 's cambio de paradigma expuesto en La estructura de las revoluciones cient??ficas (1962), muchos "chaologists" (como un poco de auto-nominado a s?? mismos) afirm?? que esta nueva teor??a fue un ejemplo de como el cambio, la tesis sostenida por J. Gleick.

La disponibilidad de ordenadores m??s potentes, m??s baratos ampl??a la aplicabilidad de la teor??a del caos. En la actualidad, la teor??a del caos sigue siendo un ??rea de investigaci??n muy activa, que implica muchos diferentes disciplinas (matem??ticas, la topolog??a , la f??sica, la biolog??a de las poblaciones, la biolog??a, la meteorolog??a, la astrof??sica, teor??a de la informaci??n, etc.).

Din??mica ca??tica

Para un sistema din??mico para ser clasificado como ca??tica, debe tener las siguientes propiedades:

• que debe ser sensible a las condiciones iniciales,
• tendria que ser mezcla topol??gicamente, y
• su ??rbitas peri??dicas deben ser densa.

La sensibilidad a las condiciones iniciales significa que cada punto en un sistema de este tipo est?? arbitrariamente estrechamente aproximada por otros puntos con significativamente diferentes trayectorias futuras. As??, un arbitrariamente peque??a perturbaci??n de la trayectoria actual puede conducir a significativamente diferente comportamiento futuro.

La sensibilidad a las condiciones iniciales se conoce popularmente como la " efecto mariposa ", llamada as?? por el t??tulo de un trabajo presentado por Edward Lorenz en 1972 para la Asociaci??n Americana para el Avance de la Ciencia en Washington, DC La previsibilidad titulado: ??El aleteo de una mariposa en Brasil provoc?? un tornado en Texas El aleteo representa un peque??o cambio en la condici??n inicial del sistema, lo que provoca una cadena de? eventos que conducen a fen??menos a gran escala. Hab??a la mariposa no bati?? sus alas, la trayectoria del sistema podr??a haber sido muy diferente.

La sensibilidad a las condiciones iniciales a menudo se confunde con el caos en los relatos populares. Tambi??n puede ser una propiedad sutil, ya que depende de una selecci??n de m??trica, o la noci??n de distancia en el espacio de fases del sistema. Por ejemplo, considere el sistema din??mico sencillo producido por duplicar repetidamente un valor inicial (definida por la cartograf??a en la recta real de x a 2x). Este sistema tiene la dependencia sensible de las condiciones iniciales en todas partes, ya que cualquier par de puntos cercanos eventualmente se convertir?? en muy distantes entre s??. Sin embargo, tiene un comportamiento extremadamente simple, ya que todos los puntos excepto 0 tienden a infinito. Si en cambio usamos la m??trica acotada en la l??nea obtenida sumando el punto en el infinito y ver el resultado en forma de c??rculo, el sistema ya no es sensible a las condiciones iniciales. Por esta raz??n, en la definici??n de caos, la atenci??n se limitan normalmente a los sistemas con m??tricas acotadas, o cerrado, acotado subgrupos invariantes de sistemas no acotados.

Incluso para sistemas acotados, la sensibilidad a las condiciones iniciales no es id??ntico con el caos. Por ejemplo, considere el toro de dos dimensiones descritas por un par de ??ngulos (x, y), cada uno que oscila entre cero y 2π. Definir un mapeo que se lleva a cualquier punto (x, y) a (2x, y + a), donde a es cualquier n??mero tal que un / 2π es irracional. Debido a la duplicaci??n de la primera coordenada, el mapeo exhibe dependencia sensible de las condiciones iniciales. Sin embargo, debido a la rotaci??n irracional en la segunda coordenada, no hay ??rbitas peri??dicas, y por lo tanto la asignaci??n no es ca??tica de acuerdo con la definici??n anterior.

Mezcla Topol??gicamente significa que el sistema evolucionar?? con el tiempo de manera que cualquier regi??n o conjunto abierto de su espacio de fase, finalmente se solapar?? con cualquier otra regi??n. Aqu??, "la mezcla" sirve realmente para corresponder a la intuici??n est??ndar: la mezcla de color colorantes o fluidos es un ejemplo de un sistema ca??tico.

Attractors

Algunos sistemas din??micos son ca??ticos en todas partes (v??ase, por ejemplo Difeomorfismos Anosov), pero en muchos casos el comportamiento ca??tico se encuentra solamente en un subconjunto del espacio de fase. Los casos de mayor inter??s surgen cuando el comportamiento ca??tico se lleva a cabo en un atractor, desde entonces, un gran conjunto de condiciones iniciales dar?? lugar a ??rbitas que confluyen a esta regi??n ca??tica.

Una manera f??cil de visualizar un atractor ca??tico es comenzar con un punto en el cuenca de atracci??n del atractor, y luego simplemente trazar su ??rbita posterior. Debido a la condici??n de transitividad topol??gica, es probable que para producir una imagen de todo el atractor final.

Diagrama de fases para un amortiguado impulsado p??ndulo, con doble periodo de movimiento

Por ejemplo, en un sistema que describe un p??ndulo, el espacio de fases podr??a ser de dos dimensiones, que consiste en informaci??n acerca de la posici??n y velocidad. Se podr??a trazar la posici??n de un p??ndulo contra su velocidad. Un p??ndulo en reposo se representa como un punto, y una en movimiento peri??dico se representar?? gr??ficamente como una curva cerrada simple. Cuando una parcela tal forma una curva cerrada, la curva se denomina ??rbita. Nuestra p??ndulo tiene un n??mero infinito de tales ??rbitas, formando una l??piz de elipses anidados sobre el origen.

Los atractores extra??os

Si bien la mayor??a de los tipos de movimiento mencionadas anteriormente dan lugar a atractores muy simples, tales como puntos y curvas de c??rculo como llamadas ciclos l??mite, movimiento ca??tico da lugar a lo que se conoce como atractores extra??os, atractores que pueden tener gran detalle y complejidad. Por ejemplo, un modelo tridimensional simple del Sistema meteorol??gico Lorenz da lugar a la famosa Atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz es quiz??s uno de los diagramas del sistema ca??ticos m??s conocidos, probablemente porque no s??lo fue uno de los primeros, pero es uno de los m??s complejos y, como tal, da lugar a un patr??n muy interesante que se parece a las alas de una mariposa. Otra de tales atractor es el Mapa R??ssler, que experimenta per??odo de dos ruta duplicaci??n al caos, al igual que el mapa log??stico.

Los atractores extra??os ocurren en ambos sistemas din??micos continuos (tales como el sistema de Lorenz) y en algunas sistemas discretos (tales como la H??non mapa). Otros sistemas din??micos discretos tienen una estructura repelente llama Julia establece que se forma en el l??mite entre las cuencas de atracci??n de puntos fijos - conjuntos de Julia puede pensarse repelentes como extra??os. Ambos atractores extra??os y conjuntos de Julia tienen t??picamente un fractal estructura.

La Poincar??-Bendixson teorema muestra que un atractor extra??o s??lo puede surgir en un sistema din??mico continuo si tiene tres o m??s dimensiones. Sin embargo, no hay tal restricci??n se aplica a sistemas discretos, que pueden exhibir atractores extra??os en dos o incluso uno sistemas dimensionales.

Las condiciones iniciales de tres o m??s cuerpos que interact??an a trav??s de la atracci??n gravitatoria (ver el n problema -cuerpo) puede estar dispuesto para producir un movimiento ca??tico.

Complejidad m??nima de un sistema ca??tico

Diagrama de bifurcaci??n de un mapa log??stico, mostrando un comportamiento ca??tico pasado un umbral

Los sistemas simples tambi??n pueden producir caos sin depender de ecuaciones diferenciales . Un ejemplo es el mapa log??stico, que es una ecuaci??n de diferencia ( relaci??n de recurrencia) que describe el crecimiento de la poblaci??n a trav??s del tiempo.

Incluso la evoluci??n de los sistemas discretos simples, tales como aut??matas celulares, en gran medida puede depender de las condiciones iniciales. Stephen Wolfram ha investigado un aut??mata celular con esta propiedad, denominado por ??l regla 30.

Un modelo m??nimo de conservador (reversible) comportamiento ca??tico es proporcionada por Mapa gato de Arnold.

La teor??a matem??tica

Teorema de Sarkovskii es la base de la Li y Yorke (1975) prueba de que cualquier sistema unidimensional que exhibe un ciclo peri??dico de per??odo de tres tambi??n se mostrar?? ciclos regulares de cada otra longitud, as?? como ??rbitas completamente ca??ticos.

Los matem??ticos han ideado muchas maneras de hacer declaraciones cuantitativas sobre los sistemas ca??ticos. ??stas incluyen: dimensi??n fractal del atractor, Exponentes de Lyapunov, parcelas de recurrencia, Mapas de Poincar??, diagramas de bifurcaci??n, y operador de transferencia.

Distinguir azar de datos ca??tica

Puede ser dif??cil saber a partir de los datos si un proceso observado f??sica u otro es aleatoria o ca??tica, porque en la pr??ctica no existen series temporales consiste en pura 'se??al'. Siempre habr?? alg??n tipo de ruido corruptora, incluso si est?? presente como salida redonda o error de truncamiento. As??, cualquier serie de tiempo real, incluso si la mayor??a determinista, contendr?? algo de aleatoriedad.

Todos los m??todos para distinguir los procesos deterministas y estoc??sticos se basan en el hecho de que un sistema determinista siempre evoluciona de la misma manera a partir de un determinado punto de partida. As??, dada una serie de tiempo para probar el determinismo, se puede:

1. elegir un estado de prueba;
2. buscar en la serie temporal de un estado similar o 'cerca'; y
3. comparar sus respectivas evoluciones de tiempo.

Definir el error como la diferencia entre el tiempo de evoluci??n de la situaci??n 'test' y la evoluci??n temporal del estado cerca. Un sistema determinista tendr?? un error que, o bien sigue siendo peque??o (soluci??n estable, regular) o aumenta exponencialmente con el tiempo (caos). Un sistema estoc??stico tendr?? un error distribuida al azar.

Esencialmente todas las medidas de determinismo tomadas de series de tiempo se basan en la b??squeda de los estados m??s cercanos a un estado de "prueba" dado (es decir, la dimensi??n de correlaci??n, exponentes de Liapunov, etc.). Para definir el estado de un sistema uno se basa t??picamente en m??todos de incrustaci??n de espacio de fase. Normalmente uno elige una dimensi??n de inmersi??n, e investiga la propagaci??n del error entre dos estados vecinos. Si el error parece aleatoria, se aumenta la dimensi??n. Si usted puede aumentar la dimensi??n de obtener un error de mirar determinista, entonces ya est??. Aunque puede sonar simple en realidad no es. Una complicaci??n es que a medida que aumenta la dimensi??n de la b??squeda de un estado cercano requiere mucho m??s tiempo de c??lculo y una gran cantidad de datos (la cantidad de datos necesarios aumenta exponencialmente con la dimensi??n de inmersi??n) para encontrar un lugar pr??ximo candidato. Si la dimensi??n de inmersi??n (n??mero de medidas por estado) se elige demasiado peque??o (menor que el "verdadero" valor) de datos deterministas pueden parecen ser al azar, pero en teor??a no hay ning??n problema de elegir la dimensi??n demasiado grande - el m??todo funcionar??. En la pr??ctica, algo que se aproxime a unos 10 dimensiones se considera tan grande que una descripci??n estoc??stica es probablemente m??s adecuada y conveniente de todos modos.

Aplicaciones

La teor??a del caos se aplica en muchas disciplinas cient??ficas: la matem??tica , biolog??a , ciencias de la computaci??n , econom??a , ingenier??a , finanzas , filosof??a , f??sica , pol??tica , din??mica de la poblaci??n, la psicolog??a , y rob??tica.

La teor??a del caos tambi??n se est?? aplicando actualmente a los estudios m??dicos de epilepsia , espec??ficamente a la predicci??n de ataques aparentemente al azar mediante la observaci??n de las condiciones iniciales.

Literatura

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