Parabole

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Une parabole.

La parabole est une courbe plane, symétrique par rapport à un axe, approximativement en forme de U. Elle peut se définir mathématiquement de plusieurs façons, équivalentes. Le plus souvent, la parabole est définie comme une courbe plane dont chacun des points est situé à égale distance d'un point fixe, le foyer, et d'une droite fixe, la directrice. Mais on peut aussi la définir comme l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est parallèle avec un autre plan tangent à la surface du cône.

Il s'agit d'un type de courbe algébrique dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées en optique, télécommunication, etc.

Mathématiques

Section conique

Les paraboles font partie de la famille des coniques, c'est-à-dire des courbes qui s'obtiennent par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ; en l'occurrence, la parabole est obtenue lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône et perpendiculaire à l'autre plan qui contient la même génératrice et l'axe du cône.

Directrice, foyer et excentricité

Parabole de droite directrice d et de foyer F.

Soient $D$ une droite et $F$ un point n'appartenant pas à $D$ , et soit $P$ le plan contenant la droite $D$ et le point $F$ . On appelle parabole de droite directrice $D$ et de foyer $F$ l'ensemble des points $M$ du plan $P$ à égale distance du foyer $F$ et de la droite $D$ , c'est-à-dire vérifiant :

d(M,F) = d(M,D)

où $d(M,F)$ mesure la distance du point $M$ au point $F$ et $d(M,D)$ mesure la distance du point $M$ à la droite $D$ . La parabole est une forme de conique dont l'excentricité $e$ vaut 1.

Équations

À partir du foyer et de la directrice

Si la parabole est donnée par son foyer $F$ et sa directrice $\mathcal D$ , on appelle $O$ le projeté orthogonal de $F$ sur $\mathcal D$ , on appelle $p$ (paramètre de la parabole) la distance $OF$ et on appelle $S$ le milieu de $[FO]$ . Alors, dans le repère orthonormé $(S,\vec i, \vec j)$ où $\vec j$ a même direction et sens que $\overrightarrow{OF}$ , l'équation de la parabole est

y = \frac{x^2}{2p}

À partir de la fonction du second degré

Article détaillé : fonction du second degré.

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré d'équation

y = ax^2 + bx + c

où $a,\,b$ et $c$ sont des constantes réelles ( $a$ non nul), est une parabole. Dans le cas $a = 1$ , $b = 0$ , et $c = 0$ on obtient une expression simple pour une parabole: $y =x^2$ .

Dans le repère $(O,\vec i, \vec j)$ , le sommet $S$ d'une parabole est le point de coordonnées $\left(- \tfrac{b}{2a}; -\tfrac{b^2 - 4ac}{4a}\right)$ . Son axe de symétrie est l'axe $(S\vec j)$ .

Dans le repère $(S,\vec i, \vec j)$ , son équation est $Y = aX^2,$ Son foyer est le point $F\left(0;\tfrac{1}{4a}\right)$ et sa directrice est la droite $\mathcal D$ d'équation $Y = - \frac{1}{4a}$

Dans le repère $(O,\vec i, \vec j)$ , le foyer a donc pour coordonnées^[1] $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\right)$ et la directrice pour équation $y=- \frac{1+\Delta}{4a}$ où $\Delta=b^2-4ac$

Démonstration

Dans le repère $(S,\vec i, \vec j)$ , on considère

F\left(0;\tfrac{1}{4a}\right)

\mathcal D : Y = - \frac{1}{4a}

Soit $M(X;Y)$ , on calcule directement la distance d du point $M$ à la droite $\mathcal D$ :

d = \left|Y + \frac{1}{4a}\right|

On calcule alors la distance d' = FM :

d' = \sqrt {\left( Y - \frac{1}{4a} \right)^2 + X^2}

On interprète, par équivalence, la condition $d = d'$

d=d' \Longleftrightarrow d^2=d'^2 \Longleftrightarrow \left( Y + \frac{1}{4a} \right)^2 = \left( Y - \frac{1}{4a} \right)^2 + X^2

d=d' \Longleftrightarrow \dfrac{Y}{a}=X^2 \Longleftrightarrow Y=aX^2

Donc

d=d' \Longleftrightarrow M \in \mathcal P:Y=aX^2

À partir de l'équation générale

Soit l'équation $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey +F = 0$ , dans un repère orthonormal. Si $B^2 - AC = 0$ alors cette équation est celle d'une parabole ou de deux droites parallèles.

Réciproquement, si (C) est une parabole, alors elle possède, dans tout repère orthonormal, une équation de la forme précédente.

Soit l'équation $Ax^2 + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$ , dans un repère orthonormal. Si $AC = 0$ avec $AE$ ou $DC$ non nul alors cette équation est celle d'une parabole dont l'axe est parallèle à un des axes du repère.

Équation polaire

Dans le repère polaire $(O, \vec e_{r}, \vec e_{\theta})$ où O est le foyer de la parabole et l'axe polaire en est l'axe focal, l'équation de la parabole est $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OP} = \frac{p}{1+\cos(\theta)} \vec e_{r}$ .

Paramétrisation

Dans le repère cartésien $(O, \vec i, \vec j)$ où $O$ est le point situé au milieu du segment constitué du foyer $F$ et de sa projection $H$ sur la directrice et où $\vec j$ est un vecteur unitaire orienté de $O$ vers $F$ , on peut envisager plusieurs paramétrisations de la parabole :

Une paramétrisation cartésienne par l'abscisse : $\overrightarrow{OP}(x)=x\vec i+\frac{x^2}{2p}\vec j$ , pour tout $x\in\R$
Une paramétrisation cartésienne par l'ordonnée : $\overrightarrow{OP}(y)=(\pm\sqrt{2py})\vec i+y\vec j$ , pour tout $y\in\R^+$
Des paramétrisations cartésiennes dépendant chacune d'un constante arbitraire a>0 : $\overrightarrow{OP}(t)=2pat\vec i+2pa^2t^2\vec j=2pa(t\vec i+at^{2}\vec j)$ , pour tout $t\in\R$

(Pour a=1/(2p) on retrouve la paramétrisation par l'abscisse.) Ces paramétrisations sont régulières (i.e. le vecteur dérivé ne s'annule pas). Le vecteur $(1,2at)$ dirige alors la tangente au point de paramètre $t$ .

Quelques propriétés géométriques de la parabole

Cordes parallèles

Toutes les cordes parallèles ont leur milieu situé sur une droite perpendiculaire à la directrice. La tangente parallèle à cette direction a son point de contact sur cette droite. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d'une telle corde se coupent sur cette droite.

Tangente et bissectrice

Si A est un point sur une parabole définie par un foyer F et une directrice (d), alors la tangente de la parabole en A est la bissectrice intérieure de l'angle formée par F, A et le projeté orthogonal de A sur (d).

Éléments de démonstration

(b) est la tangente en A et la bissectrice de l'angle (FAH)

Soit H le projeté orthogonal de A sur (d), (b) la bissectrice de l'angle FÂH.

On sait que la parabole découpe le plan en deux zones : l'une, contenant F, regroupe les points M pour lesquels FM < FM_H et l'autre, contenant (d), regroupe les points M pour lesquels FM > FM_H. On montre que (b) est la tangente en A à la parabole en prouvant qu'elle est entièrement incluse (excepté le point A) dans la zone vérifiant FM > FM_H.

Le triangle FAH est isocèle en A par définition de la parabole. Donc (b) est aussi la médiatrice de [FH].

Soit A' un point sur (b) distinct de A. A' appartient donc à la médiatrice de [FH] et A'F = A'H.

Soit H' le projeté orthogonal de A' sur (d). Le triangle HH'A' est rectangle en H' donc A'H' < A'H.

Donc finalement A'H' < A'F. Donc A' est dans la partie du plan vérifiant FM > FM_H.

La droite (b) est entièrement incluse dans cette zone (sauf au point A), c'est donc la tangente à la parabole en A.

Une démonstration purement analytique est possible. Dans le repère $(S,\vec i, \vec j)$ , l'équation de la parabole est

y = ax^2

La tangente au point d'abscisse m a pour vecteur directeur

\vec u(1,2am)

Les points F et H ont pour coordonnées respectives

F\left(0;\frac1{4a}\right)

H\left(m;-\frac1{4a}\right))

La droite (HF) a pour vecteur directeur

\vec v\left(m;-\frac1{2a}\right)

elle est donc orthogonale à la tangente.

La tangente est donc hauteur du triangle isocèle AFH, c'est donc bien la bissectrice de l'angle FÂH.

Illustration de la propriété en optique.

Cette propriété explique le principe des miroirs paraboliques : l'angle que font les droites (AF) et (b) est égal à l'angle que font les droites (AH) et (b), donc les droites (AH) et (AF) sont symétriques par rapport à la tangente, ainsi que par rapport à la normale à la tangente. En optique, cela signifie qu'un rayon issu de F et frappant A subit une réflexion spéculaire de direction (AH), puisque selon le loi de Snell-Descartes, l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion. Donc, tous les rayons issus de F sont réfléchis dans la même direction, perpendiculaire à (d).

Propriété relative à l'orthoptique

En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

Soient $M$ et $M'$ les points d'intersection d'une droite quelconque passant par le foyer de la parabole avec la parabole. Les deux tangentes de la parabole passant par $M$ et $M'$ se coupent sur la directrice en formant un angle droit entre elles. De plus, si on appelle $H$ et $H'$ les projetés respectifs de $M$ et $M'$ sur la directrice et $O$ le point d'intersection des deux tangentes et de la directrice, alors $O$ est le milieu de $[HH']$ .

En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

Démonstration

On note O le point d'intersection des deux tangentes. Pour des notations plus simples des angles, on note

\alpha = \widehat {FMO}

\beta = \widehat {FM'O}

D'après la corrélation montrée plus haut entre tangente et bissectrice, on a :

\widehat {FMH} = 2 \alpha

\widehat {FM'H'} = 2 \beta

Puisque les droites (HM) et (H'M') sont parallèles, les deux angles précédents, découpés par (MM') sur ces droites, sont supplémentaires. On a donc :

2 \beta + 2 \alpha = \pi \Leftrightarrow \beta + \alpha = \frac {\pi}{2}

On en déduit directement avec la somme des angles d'un triangle :

\widehat {MOM'} = \pi - \left(\alpha + \beta \right) = \frac {\pi}{2}

On appelle P le point d'intersection de la perpendiculaire à (MM') passant par F avec la directrice. Les triangles FMP et HMP sont égaux car FM=HM donc le point P est sur la bissectrice de l'angle FMH, il est donc sur la tangente passant par M ; de même, le point P est sur la tangente passant par M'. Le point P est donc aussi le point O d'intersection des deux tangentes qui se trouve donc bien sur la directrice.

Les deux tangentes se coupent donc en angle droit sur la directrice.

Enfin, les égalités FP=HP et FP=H'P prouvent que P donc O est le milieu de [HH'].

Applications

Physique

trajectoire parabolique.

La parabole est la trajectoire décrite par un objet que l'on lance si on peut négliger la courbure de la Terre, le frottement de l'air (vent, ralentissement de l'objet) et la variation de la gravité avec la hauteur.

Torricelli a démontré (1640) que l'enveloppe de ces trajectoires est elle-même une parabole : parabole de sûreté.

Ondes hertziennes et lumière

Par métonymie, une parabole désigne une antenne parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface nommée paraboloïde de révolution.

Principe du phare automobile à miroir parabolique.

Les paraboloïdes permettent soit de concentrer des ondes ou des rayons en un point, le foyer de la parabole (c'est cette propriété qui est utilisée par les antennes), soit inversement de diffuser sous forme d'un faisceau cylindrique la lumière produite par une ampoule au foyer de la parabole (propriété exploitée par un projecteur ou un phare).

Un cylindre parabolique permet, de même, de concentrer la lumière sur une droite, par exemple dans des concentrateurs solaires

Bibliographie

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, ISBN 978-2-916352-12-1

Référence

↑ illustration animée avec geogebra

Voir aussi

Liens externes

Cours de géométrie de M. Gerhard Wanner de l'université de Genève, section de mathématiques
Les théorèmes "belges" - Coniques et théorème de Dandelin
Lancement du poids - Parabole de sureté

Portail de la géométrie

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