Nombre de Froude

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Le nombre de Froude, de l'hydrodynamicien anglais William Froude, est un nombre sans dimension qui caractérise dans un fluide l'importance relative de l'énergie cinétique de ses particules par rapport à leur énergie potentielle gravitationnelle. Il s'exprime donc par un rapport entre la vitesse et la force de pesanteur qui s'exerce sur celle-ci. Ce nombre apparaît essentiellement dans les phénomènes à surface libre, en particulier dans les études de cours d'eau, de barrages, de ports et de navires (architecture navale). Il est également important en météorologie pour le calcul de l'écoulement de l'air en montagne.

En dynamique des fluides il fait partie des trois nombres sans dimension les plus utilisés : il caractérise l'importance de la pesanteur alors que le nombre de Reynolds prend en compte la viscosité et le nombre de Mach la compressibilité.

Origine

À la fin du XIX^e siècle, Froude étudia sur modèle réduit le comportement de navires remorqués. Il montra que les phénomènes restaient semblables lorsque la vitesse du navire variait comme la racine carrée de sa longueur^[1]. Froude admit l'antériorité de Reech à propos de ce concept de loi de comparaison. Cette démarche empirique ne pouvait prendre en compte la pesanteur introduite ultérieurement dans ce qu'on appelle parfois le nombre de Reech-Froude.

Définition

Le nombre de Froude étant le rapport entre l'énergie cinétique (m v²/2) et le potentiel gravitationnel (mgL_c). Il se définit donc de deux manières en fonction des domaines d'utilisations^[2] :

$Fr_I = \frac{v}{\sqrt{g L_c}}$

$Fr_{II} = \frac{v^2}{g L_c}$

avec :

v - vitesse (en m⋅s^-1)
g - accélération de la pesanteur (9,81 m/s²)
L_c - longueur caractéristique

On peut l'exprimer en fonction du nombre de Reech^[3]:

$Fr_{II} = \frac{1}{Re}$ .

Le dénominateur représente la célérité des ondes par faible profondeur, le nombre de Froude présentant ainsi une certaine analogie avec le nombre de Mach.

Domaines d'utilisation

Cours d'eau

L_c est la profondeur du cours d'eau.

Dans un cours d'eau, le nombre de Froude correspond au rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse des ondes de surface. Les ondes se propagent en eau peu profonde, leur célérité est donc : $C=\sqrt {g h}$

L'expression du nombre de Froude pour une section rectangulaire est :

$Fr_I = \frac{v}{C} = \frac{v}{\sqrt{g h}}$

avec :

v - vitesse de l'écoulement
g - accélération de la pesanteur (9,81 m/s²)
h - hauteur d'eau

Valeurs critiques

Pour un cours d'eau un même débit peut être obtenu de deux façons différentes :

Fr > 1 : régime torrentiel, avec une faible hauteur d'eau et une forte vitesse (équivalent d'un régime supersonique). Dans ce régime, le fluide est « tiré » par les forces qui le meuvent (la gravité le plus souvent), sans que la masse de fluide en aval soit une gène.
Fr < 1 : régime fluvial, avec une forte hauteur d'eau et une faible vitesse (équivalent d'un écoulement subsonique). Ce régime est « piloté par l'aval » : le comportement des particules en mouvement est contraint par celles qui les précèdent.

Dans les deux solutions la hauteur d'eau et la vitesse sont déterminées suivant le nombre de Froude et le débit, mais les solutions ne se calculent pas de la même façon. La détermination du nombre de Froude est donc un préalable au calcul.

La transition du régime torrentiel au régime fluvial provoque un ressaut hydraulique où la hauteur d'eau s'accroit brusquement. Le phénomène est observable dans un lavabo : lorsque l'eau qui coule touche la surface, sa vitesse initialement élevée (nombre de Froude > 1) diminue à proportion de sa distance au point d'impact, et Fr finit par descendre en dessous de 1.

Architecture navale

L_c est la longueur de la carène^[4].

En météorologie de montagnes

Le nombre de Froude est utilisé en météorologie pour calculer si des ondes de gravité seront générée par un flux atmosphérique traversant un obstacle tel qu'une chaîne de montagnes. Dans ce cas, l'énergie potentielle dépend non seulement du poids de la parcelle d'air mais également de la poussée d'Archimède qui s'exerce sur celle-ci dans l'atmosphère. En effet, si la parcelle d'air est moins dense que son environnement, elle sera repoussée en altitude et vice versa si elle est plus dense.

Le nombre de Froude devient alors un rapport entre la vitesse horizontale U de déplacement d'une parcelle d'air et le potentiel à vaincre (h la hauteur de l'obstacle) qui dépend aussi de la stabilité de l'air. La masse d'air perturbée par la présence d'un obstacle vertical est soumise à une onde de gravité et se met à osciller avec la fréquence de Brunt-Väisälä (N). Le nombre de Froude s'exprime comme^[5] :

$Fr = \frac {U} {N\,h}$

avec

N \equiv \sqrt{\frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}}

, où

h

est la hauteur au-dessus du sol, g = 9,81 m/s²,

\theta

est la température potentielle de l'air^[6].

D'autres auteurs définissent le nombre de Froude comme étant :

$Fr = \frac {\pi U} {N W_t}$

où Wt est l'épaisseur transversale de la montagne^[7].

Valeurs critiques

Fr < 1 : vents légers et l'écoulement contourne ou est bloqué par l'obstacle ;
Fr = 1 : cas de stabilité faible et de vents forts avec création d'oscillations en aval de l'obstacle ;
Fr > 1 : la longueur d'onde de l'air est plus grande que celle de la barrière. Création d'une zone de fluide mort derrière la colline. Accélération du vent au sommet et après une longueur égale à environ trois fois la longueur de l'obstacle, l'écoulement retrouve ses caractéristiques initiales.

Notes et références

↑ (en) Fadi Khoury, « History of the Froude Number », sur San Diego State University,‎ juin 2007 (consulté le 11 avril 2013)
↑ François Longchamp, « Nombre de Froude »,‎ 3 février 2011 (consulté le 11 avril 2013)
↑ (en) Carl W. Hall, Laws and Models: Science, Engineering and Technology, Boca Raton, CRC Press,‎ 2000, 524 p. (ISBN 8449320186)
↑ « Nombre de Froude », sur Mecaflux (consulté le 11 avril 2013)
↑ Fabienne Grazzini, « La couche limite atmosphérique », sur École supérieure d'électrotechnique, d'électronique, d'informatique, d'hydraulique et des télécommunications,‎ 1999 (consulté le 11 avril 2013)
↑ (en)Rogers, R. R. et Yau, M. K., Short Course in Cloud Physics, 3^e édition, Butterworth-Heinemann,‎ 1^e janvier 1989, 304 p. (ISBN 0-7506-3215-1), p. 30-35
EAN 9780750632157
↑ (en)Roland B. Stull, An introduction to boundary layer meteorology, Kluwer academic publishers,‎ 1988, 670 p. (ISBN 90-277-2768-6), p. 601

Voir aussi

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