Module d'élasticité

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La connaissance du module et son évolution en fonction de T sont nécessaires pour la sélection du matériau le plus adapté.

Le module d'élasticité (souvent appelé « module élastique ») est une grandeur intrinsèque d'un matériau, définie par le rapport de la contrainte à la déformation élastique provoquée par cette contrainte. La déformation est exprimée comme une grandeur sans dimension. L'unité pratique souvent usitée du module est le MPa.

Le comportement élastique d'un matériau homogène isotrope et linéaire est caractérisé par deux modules (ou constantes) d'élasticité indépendants. Le tableau nommé « Formules de conversion » en bas de page indique les relations des paires de modules d'élasticité, sur un total de six modules : E, G, K, M, ν^[1] et λ. L'utilisation des relations données dans ce tableau nécessite cependant des corrections qui sont données dans la littérature^[2].

En ingénierie structurelle, le choix le plus courant est la paire module d'Young et coefficient de Poisson (E, ν) ; la paire équivalente (E, G) est aussi utilisée. Le module E (lié à la raideur) est souvent utilisé en acoustique.

La connaissance des caractéristiques rhéologiques en fonction de la température revêt un grand intérêt. Les évolutions de modules ou de viscosités sont souvent importantes. Voir aussi Température de transition vitreuse (T_v) et Thermostabilité.

Typologie

Selon le type de déformation^[3], le module d'élasticité d'un matériau peut être :

le module d'Young ou de traction, d'élasticité longitudinale, de compression, de flexion (E_f), souvent appelé simplement « module d'élasticité » (E) ;
le module de cisaillement ou d'élasticité tangentielle, de torsion (G_to), etc. (G) ;
le module d'élasticité isostatique ou de compressibilité, de compression en flambage, etc. (K) ;
ou le module d'onde de compression ou d'onde plane (L^[4] ou M).

Divers types de modules d'élasticité correspondant aux différents types de déformation (exemples) :

Nom	Comportement du matériau	Loi de comportement
Module de traction	Soumis à une contrainte uniaxiale $\rm \sigma_E$ , l'échantillon subit une dilatation linéaire $\rm \varepsilon_E$ faible par rapport à l'épaisseur.	$\rm \sigma_E = E_t \ \varepsilon_E$
Module de cisaillement	Soumis à une contrainte de cisaillement^[5] $\rm \sigma_C$ , l'échantillon subit une déformation $\rm \varepsilon_C$ sans changer de volume.	$\rm \sigma_C = G_s \ \varepsilon_C$
Module de compressibilité mécanique	Soumis à une contrainte de compressibilité $\rm \sigma_K$ , l'échantillon subit une variation de volume $\rm \varepsilon_K$ sans changer de forme.	$\rm \sigma_K = K \ \varepsilon_K$
Module en déformation uniaxiale	Soumis à une contrainte de pseudo-compressibilité $\rm \sigma_M$ , l'échantillon subit une variation de volume $\rm \varepsilon_M$ sans changer de forme. La déformation résultante est grande par rapport à l'épaisseur.	$\rm \sigma_M = L \ \varepsilon_M$

Modules en régime dynamique

Article connexe : Liste de grandeurs viscoélastiques.

Représentation dans le plan complexe.

En général, pour un matériau viscoélastique, il n'existe pas de relation contrainte $\leftrightarrow$ déformation (équation rhéologique) indépendante du temps (t), c'est le cas notamment du rapport contrainte sur déformation. Le rapport contrainte dynamique $\sigma(t)$ sur déformation dynamique $\varepsilon(t)$ d'un matériau viscoélastique soumis à une vibration sinusoïdale est appelé module complexe ou module dynamique ou module viscoélastique, noté M*^[6]

\mathrm M^*(t) = \frac {\sigma(t)} {\varepsilon(t)} = \mathrm M'(t) + i\mathrm M''(t) = \frac {1} {\mathrm C^*(t)}

\rm |M|^2 = \left( \frac {\sigma_A} {\varepsilon_A}\right )^2 = (M')^2 + (M'')^2

avec :

M', le module de conservation, partie réelle de M*, représentant la composante élastique de M* et la rigidité du matériau viscoélastique ;

M'', le module de perte, partie imaginaire de M*, représentant la composante visqueuse de M* ;

C*, la complaisance complexe, pour un comportement viscoélastique linéaire ;

\sigma_\text{A}

\varepsilon_\text{A}

, les amplitudes des cycles de contrainte et de déformation, respectivement.

Les contraintes élastiques et visqueuses sont liées aux propriétés du matériau par le module.

Le schéma ci-dessus représente diverses propriétés mécaniques dynamiques dans le plan complexe, dans une expérience utilisant des déformations sinusoïdales ; $\delta$ est l'angle de phase entre la contrainte et la déformation.

Un matériau est considéré comme viscoélastique linéairement si, lorsqu'il est faiblement déformé, le rapport contrainte sur déformation (ou module) n'est fonction que de la fréquence (ou du temps) et de la température (T). À partir d'un niveau de déformation critique, le comportement de l'échantillon est non-linéaire.

Un module viscoélastique est déterminé en DMA à partir de la géométrie et de la raideur dynamique de l'échantillon. Par exemple, les modules viscoélastiques E' et E'' d'un solide déformable peuvent être mesurés en DMA en soumettant l'échantillon à une contrainte de traction-compression ou de flexion. Les modules viscoélastiques G' et G'' d'un produit solide, d'un (polymère) fondu, d'une résine, d'un bitume, etc., peuvent être mesurés en DMA ou au moyen d'un rhéomètre dynamique (hors échantillon solide dans ce dernier cas) ; la caractérisation se fait en torsion (sur un solide) ou en cisaillement.

La viscosité dynamique $\eta'$ est proportionnelle à G''.

Notes et références

↑ D'après la norme (fr) ISO 6721-1:1994(F), Plastiques - Détermination des propriétés mécaniques dynamiques - Partie 1 : Principes généraux, le coefficient de Poisson a pour symbole µ.
↑ D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), qui indique par exemple les références [1] et [2] citées dans la Bibliographie.
↑ À ne pas confrondre avec les modes de déformation que sont le fluage et la relaxation, liés à leur dépendance temporelle.
↑ D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), le module en compression uniaxiale (sur feuilles minces) a pour symbole L_c et le module en onde de compression longitudinale a pour symbole L_w.
↑ Cisaillement, en anglais : shear, d'où la notation G_s pour le module correspondant.
↑ À ne pas confrondre avec le module d'onde de compression, L ou M.

Bibliographie

[1] Nederveen, C.J. et van der Wal, C.W., Rheol. Acta, 6 (4), p. 316 (1967)
[2] Read, B.E. et Dean, G.D., The determination of dynamic properties of polymers and composites, 207 p., Adam Hilger, Bristol, 1978 (ISBN 0-85274-363-7)

Articles connexes

Notion de module
Loi de Hooke
Déformation élastique
Coefficient de Lamé
Essai mécanique
Rhéologie des solides
Complaisance
Principe d'équivalence temps-température
Tenseur des constantes élastiques
Facteur de forme
Module de relaxation

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