Coefficient de Poisson

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Mis en évidence (analytiquement) par Siméon Denis Poisson, le coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson) permet de caractériser la contraction de la matière perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué.

Définition

$\nu = \frac\mbox{contraction transversale unitaire}\mbox{allongement axial unitaire} = \frac{(l_0-l)/l_0}{(L-L_0)/L_0}$

Le coefficient de Poisson $\nu$ fait partie des constantes élastiques. Il est compris entre -1 et 0,5 : 0,5 est la valeur limite pour un corps chauffé devenant alors liquide (incompressible). Les valeurs expérimentales obtenues pour un matériau quelconque sont souvent voisines de 0,3. Il faut signaler l'existence de matériaux à coefficient de Poisson voisin de zéro, et on a même pu réaliser artificiellement des matériaux à coefficient de Poisson négatif (on parle alors parfois de matériaux auxétiques).

Relations

Cas d'un matériau isotrope

Le changement de volume ΔV/V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations) :

\frac {\Delta V} {V_0} \approx (1-2\nu)\frac {\Delta L} {L_0}

Démonstration

Soit un cube constitué d'un matériau isotrope d'un volume initial $V_0=L_0^3$ , et de volume final $V = L \cdot l^2=L_0(1+\epsilon) \cdot (L_0(1-\nu\cdot\epsilon))^2$ .
Où $\epsilon=\frac {\Delta L} {L_0}$
La relation entre les deux est donc :

$V = (V_0 + \Delta V) = V_0 \cdot (1+\epsilon) \cdot (1-\nu\cdot\epsilon)^2$ , soit en développant :

$V = (V_0 + \Delta V) = V_0 \cdot (1 +\epsilon -2\cdot\nu\cdot\epsilon +\nu^2\cdot\epsilon^2 -2\cdot\nu\cdot\epsilon^2 +\nu^2\cdot\epsilon^3)$

L'hypothèse de petites déformations permet de négliger les termes du second ordre, on obtient alors :

$V_0 + \Delta V = V_0 \cdot (1 +\epsilon -2\cdot\nu\cdot\epsilon)$

$\Delta V = V_0 \cdot (\epsilon -2\cdot\nu\cdot\epsilon)$

en divisant cette relation par le volume initial $V_0$ :

$\dfrac{\Delta V}{V_0} = (1 -2\nu)\cdot\epsilon$

Le module d'élasticité isostatique ( $K$ ) est lié au Module de Young ( $E$ ) par le coefficient de Poisson ( $\nu$ ) au travers de la relation :

K=\frac{1}{3}\frac{E}{(1-2\nu)}

Cette relation montre que $\nu$ doit rester inférieur à 1/2 pour que le module d'élasticité isostatique reste positif. On note également les valeurs particulières de ν :

pour ν = 0,33 on a K = E.
pour ν → 0,5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)

Avec le module de Young ( $E$ ) exprimé en fonction du module de cisaillement ( $G$ ) et de $\nu$ :

E = 2(1+\nu)\cdot G

Cette relation met en évidence le fait que $\nu$ ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait!)

Cas d'un stratifié (isotrope transverse)

Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante :

$\frac{E_1}{\nu_{12}}=\frac{E_2}{\nu_{21}}$

Où $E_1$ et $E_2$ sont les modules de Young des matériaux et $\nu_{21}$ est le coefficient secondaire de Poisson.

Quelques valeurs numériques de coefficients de Poisson

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes. Le coefficient de Poisson n'a pas d'unité.

Métaux purs
Matériaux	Coef
Aluminium (Al)	0,346
Béryllium (Be)	0,032
Bore (B)	0,21
Cuivre (Cu)	0,33
Fer (Fe)	0,21 - 0,259
Magnésium (Mg)	0,35
Or (Au)	0,42
Plomb (Pb)	0,44
Titane (Ti)	0,34

Alliages
Matériaux	Coef
Acier de construction	0,27 - 0,30
Acier inoxydable	0,30 - 0,31
Fontes	0,21 - 0,26
Laiton	0,37

Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériaux	Coef
Argile humide	0,40 - 0,50
Béton	0,20
Sable	0,20 - 0,45
Carbure de silicium (SiC)	0,17
Si₃N₄	0,25
Verre	0,18 - 0,3

Polymères, fibres
Matériaux	Coef
Caoutchouc	0,5
Liège	0,0
Mousse	0,10 - 0,40
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)	0,40 - 0,43

Articles connexes

Auxétisme
Siméon Denis Poisson

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