Démonstration

En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition (mathématique) à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de règles de déduction. Hors du champ des mathématiques, en droit par exemple, une démonstration intervient comme un complément de preuves, c'est une suite d'arguments énoncés en vue d'emporter l'adhésion de l'auditeur ou du lecteur.

Les démonstrations dans l'architecture des mathématiques

Une proposition une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations. Dans toute situation où les propositions initiales sont vraies, la proposition démontrée devrait être vraie ; on ne pourrait la remettre en cause qu'en remettant en cause une ou plusieurs des propositions initiales ou le système de règles de déduction lui-même.

Cette description peut s'avérer idéale. Il arrive qu'une démonstration s'appuie partiellement sur l'intuition, géométrique par exemple, et donc que toutes les propriétés admises, les axiomes, ne soient pas explicites. Les démonstrations de géométrie que l'on peut trouver dans les Éléments d'Euclide sont par exemple considérées encore aujourd'hui comme des modèles de rigueur, alors qu'Euclide s'appuie en partie sur des axiomes implicites, comme l'a montré David Hilbert dans ses « fondements de la géométrie ». Par ailleurs, les démonstrations des mathématiciens ne sont pas formelles et une démonstration peut être considérée comme correcte dans les grandes lignes, alors que des points resteraient à expliciter en toute rigueur, voire que d'autres sont entachés d'erreurs « mineures ». On rédige une démonstration pour être lue et convaincre les lecteurs, et le niveau de détail nécessaire n'est pas le même suivant les connaissances de ceux-ci. Cependant avec l'avènement des ordinateurs et des systèmes d'aide à la démonstration, certains mathématiciens contemporains rédigent des démonstrations qui sont amenées à être vérifiées par des programmes.

Typologie des démonstrations

Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des dénominations spécifiques.

• Une démonstration formelle est un objet mathématique^[1] qui contient toutes les étapes de la déduction. En général une telle démonstration ne peut pas être lue par un humain.
• Les mathématiciens parlent assez informellement de démonstration directe, pour une démonstration d'un énoncé n'utilisant que les constituants de celui-ci, de la façon la plus simple possible, sans les recomposer, et sans le déduire de théorèmes plus forts. Dans certains contextes, on peut considérer qu'une démonstration par l'absurde ou par contraposition est indirecte.
• Un démonstration par un contre-exemple permet de valider une propriété existentielle (ou invalider une propriété universelle) (mais, en général, une proposition universelle ne peut être prouvée par un ou plusieurs exemples, même bien choisis).
• Une démonstration par décomposition en cas (en) consiste à montrer que l'énoncé se ramène à un certain nombre (fini) de cas distincts, puis à les démontrer séparément.
• Une démonstration par l'absurde consiste à montrer qu'en affirmant la négation de l'assertion à démontrer on aboutit à une contradiction, typiquement une proposition et sa négation.
• Une démonstration est constructive si elle inclut une construction ou un mode de recherche effectif des objets dont elle établit l'existence.
• Une démonstration par récurrence s'appuie sur une méthode de déduction spécifique (dite récurrence) pour affirmer qu'une assertion est démontrable pour tous les entiers naturels : elle consiste à démontrer l'assertion pour 0 (ou 1), puis à démontrer que de l'assertion pour l'entier n, on peut déduire l'assertion pour l'entier n+1. Il existe des variantes plus générales pour les éléments d'un certain ensemble bien ordonné ou pour des structures qui sont construites d'une façon qui étend celle avec laquelle les entiers naturels sont décrits.
• Une démonstration probabiliste^[2] utilise la théorie des probabilités pour démontrer l'existence certaine d'un objet.
• Une démonstration par analyse-synthèse consiste à étudier les propriétés de l'hypothétique solution d'un problème dont on cherche à prouver l'existence et l'unicité, jusqu'à identifier une seule solution possible, puis à montrer que ce candidat est effectivement solution.
• Une démonstration sans mots s'appuie sur une représentation visuelle d'un exemple bien choisi de la propriété à démontrer ; la valeur démonstrative d'un tel processus est néanmoins souvent contestée et il s'agit plutôt d'une heuristique.
• Une démonstration combinatoire peut se faire par double dénombrement ou en considérant une bijection bien choisie.

Incomplétude et indépendance

Il est parfois possible de démontrer^[3] qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée dans un certain système axiomatique dont on aurait pourtant attendu qu'il puisse formaliser « toutes » les mathématiques ; ainsi l'axiome du choix ne peut pas être démontré dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, non plus que sa négation. De façon analogue, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne sont démontrables dans la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix. On dit que ces assertions sont indépendantes de ce système d'axiomes : il est par exemple possible d'ajouter aussi bien l'axiome du choix que sa négation à la théorie des ensembles, la théorie restera cohérente (en supposant que la théorie des ensembles le soit).

En fait, comme l'énonce le théorème d'incomplétude de Gödel, dans toute théorie axiomatique « raisonnable »^[4] qui contient les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées alors qu'elles sont en fait « vraies », c'est-à-dire, plus précisément, que toutes les instances de la proposition pour chacun des entiers naturels sont démontrables.

Théorie de la démonstration

La logique mathématique a développé une branche qui est consacrée à l'étude des démonstrations et des systèmes déductifs et s'appelle pour cela la théorie de la démonstration.

Outils d'aide à la démonstration

L'informatique a construit des outils d'aide à la démonstration qui sont de deux ordres :

• les assistants d'aide à la démonstration sont des outils logiciels qui aident les utilisateurs à construire leurs démonstrations et à les vérifier,
• les logiciels de démonstration automatique de théorèmes réalisent automatiquement les démonstrations des propositions qu'on leur soumet.

Notes et références

1. ↑ méta-mathématique plus précisément.
2. ↑ Une démonstration probabiliste ne doit pas être confondue avec l'assertion « ce théorème est probablement vrai ».
3. ↑ Il s'agit d'une démonstration dans la méta-théorie.
4. ↑ On peut vraiment en énoncer les axiomes et, même s'il y en a une infinité, les décrire précisément de façon finie, un énoncé précis de cette notion de théorie raisonnable repose sur la théorie de la calculabilité.

Voir aussi

• Démonstration (mathématiques élémentaires)
• Théorie de la démonstration
• Démonstration automatique de théorèmes
• Assistant de preuve
• Démonstration comparative

• Portail de la logique
• Portail de la philosophie
• Portail des mathématiques