Équation de la chaleur

En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, pour décrire le phénomène physique de conduction thermique, introduite initialement en 1811 par Jean Baptiste Joseph Fourier^[1], après des expériences sur la propagation de la chaleur, suivies par la modélisation de l'évolution de la température avec des séries trigonométriques, appelés depuis séries de Fourier et transformées de Fourier, permettant une grande amélioration à la modélisation mathématique des phénomènes, en particulier pour les fondements de la thermodynamique, et qui ont entrainé aussi des travaux mathématiques très importants pour les rendre rigoureuses, véritable révolution à la fois physique et mathématiques, sur plus d'un siècle.

Elle est aussi utilisée en mathématiques financières (équation de Black-Scholes). Ces théories sont fondées sur la distribution normale (loi de Gauss ou "courbe en cloche") très exacte pour les particules atomiques, phonons ou électrons,(sauf très près d'une transition de phase) qui diffusent par des marches simples au hasard, autant dans un sens que dans l'autre sens pour conduire la chaleur, mais beaucoup moins pour les comportement financiers collectifs, qui sous-estiment très fortement les événements "improbables" comme les crises ou les krachs dramatiques, alors qu'ils sont finalement beaucoup moins rares que cette loi ne le prévoit, par des comportements pas du tout au hasard, lorsque tous ensembles prennent peur et vendent.

Équation de la chaleur

Soit $\Omega$ un domaine de $\R^3$ de frontière $\partial \Omega$ et $T(x,t)$ un champ de température sur ce domaine. En présence d'une source thermique^[2] dans le domaine, et en l'absence de transport de chaleur (convection), l'équation de la chaleur s'écrit :

$\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad \frac{\partial T }{\partial t}(x,t) \ = \ D \, \Delta T(x,t) + \frac{P}{\rho c}$

où

$\Delta$ est l'opérateur Laplacien,
$D$ est le coefficient de diffusivité thermique (en m²/s),
$P$ une éventuelle production volumique de chaleur (en W/m³),
$\rho$ est la masse volumique du matériau (en kg/m³),
$c$ la chaleur spécifique massique du matériau (en J/kg/K).

Pour que le problème soit mathématiquement bien posé, il faut en général spécifier :

une condition initiale : $\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,0) \ = \ T_0(x)$ ;
une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple :
- de Dirichlet : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad T (x,t) \ = \ 0$ ;
- ou de Neumann : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial n} \ = \ \vec{n}(x) \cdot \vec{\nabla} T(x,t) \ = \ 0$ , où $\vec{n}(x)$ est le vecteur normal unitaire au point x.

Établissement de l'équation de la chaleur

Il existe plusieurs approches, par exemple le bilan pour un volume de contrôle. On suit ici un raisonnement s'appuyant sur la thermodynamique et la loi de Fourier.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à un volume $\tau$ de conducteur contenu à l'intérieur d'une surface $\Sigma$ entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ :

U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\delta W + \delta Q

on considère ici un système isochore par conséquent $\delta W = 0$ . De plus,

U(t) = \iiint_\tau \rho c T(t) \,\mathrm{d}\tau + f(V)

où $\rho$ est la masse volumique du matériau (en kg.m^-3), $c$ la chaleur spécifique massique du matériau (en J.kg^-1.K^-1) et $f(V)$ est une fonction du volume. Alors

U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\iiint_\tau \rho c (T(t+\mathrm{d}t)-T(t)) \,\mathrm{d}\tau = \iiint_\tau \rho c \,\frac{\partial T}{\partial t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}\tau

On a aussi, par définition de $\vec{\jmath}_{Q}$ (vecteur densité de flux de chaleur) et de la densité volumique de source de chaleur par unité de temps P (en W/m³) :

(note pour le signe : $\vec{\jmath}_{Q}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$ est positif quand le flux est vers l'extérieur, donc la variation de chaleur est alors négative dans le volume)

\delta Q = - \left(\iint_{\Sigma} \vec\jmath_{Q}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\right)\,\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\,\mathrm{d}t

Avec le théorème de Green-Ostrogradsky on obtient :

\delta Q = - \left(\iiint_\tau \operatorname{div} \vec\jmath_{Q}\,\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\,\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t

donc :

\iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}\tau = - \iiint_\tau \operatorname{div}\vec\jmath_{Q} \,\mathrm{d}\tau \,\mathrm{d}t+\iiint_\tau P\,\mathrm{d}\tau \,\mathrm{d}t

or ceci est valable pour tout volume $\tau$ , donc :

\operatorname{div} \vec\jmath_{Q} = - \rho c \frac{\partial T}{\partial t} + P

En utilisant la loi de Fourier :

\vec\jmath_{Q} = - \lambda \,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T

et le fait que :

\operatorname{div}\left(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\right) = \nabla^2 = \Delta

(laplacien)

on obtient, si la conductivité thermique ne dépend pas des propriétés spatiales :

-\lambda\Delta T= - \rho c\frac{\partial T}{\partial t} + P \Rightarrow \frac{\rho c}{\lambda}\frac{\partial T}{\partial t}-\Delta T=\frac{P}{\lambda}

ce qui est bien l'équation de la chaleur.

Enfin, en posant $D = \frac{\lambda}{\rho c}$ (coefficient de diffusion).

\frac{\partial T}{\partial t}=D\Delta T + \frac{P}{\rho c}

Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier

L'une des premières méthodes de résolution de l'équation de la chaleur fut proposée par Joseph Fourier lui-même dans son traité Théorie analytique de la chaleur en 1822.

On considère le cas simplifié de l'équation en une dimension, qui peut modéliser le comportement de la chaleur dans une tige. L'équation s'écrit alors :

\displaystyle \partial_t T = \alpha \partial_{xx}^2 T

avec T = T(x, t) pour x dans un intervalle [0,L], où L est la longueur de la tige, et t ≥ 0.

On se donne une condition initiale :

T(x,0) = f(x) \quad \forall x \in [0,L]

et des conditions aux limites, ici de type Riemann homogènes :

T(0,t) = 0 = T(L,t) \quad \forall t > 0

L'objectif est de trouver une solution non triviale de l'équation, ce qui exclut la solution nulle. On utilise alors la méthode de séparation des variables en supposant que la solution s'écrit comme le produit de deux fonctions indépendantes :

T(x,t) = X(x) Y(t).

Comme T est solution de l'équation aux dérivées partielles, on a :

\frac{Y'(t)}{\alpha Y(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.

Deux fonctions égales et ne dépendant pas de la même variable sont nécessairement constantes, égales à une valeur notée ici −λ, soit :

Y'(t) = - \lambda \alpha Y(t)

X''(x) = - \lambda X(x).

On vérifie que les conditions aux limites interdisent le cas λ ≤ 0 pour avoir des solutions non nulles :

Supposons λ < 0. Il existe alors des constantes réelles B et C telles que

X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}.

Or les conditions aux limites imposent X(0) = 0 = X(L), soit B = 0 = C, et donc Test nulle.

Supposons λ = 0. Il existe alors de même des constantes réelles B, C telles que X(x) = Bx + C. Une fois encore, les conditions aux limites entraînent X nulle, et donc T nulle.

Il reste donc le cas λ > 0. Il existe alors des constantes réelles A, B, C telles que

Y(t) = A e^{-\lambda \alpha t}

X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x).

Les conditions aux limites imposent maintenant C = 0 et qu'il existe un entier positif n tel que

\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}.

On obtient ainsi une forme de la solution. Toutefois, l'équation étudiée est linéaire, donc toute combinaison linéaire de solutions est elle-même solution. Ainsi, la forme générale de la solution est donnée par

T(x,t) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}}.

La valeur de la condition initiale donne :

f(x) = T(x,0) = \sum_{n = 1}^{+\infty} D_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right).

On reconnait un développement en série de Fourier, ce qui donne la valeur des coefficients :

D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right ) \, \mathrm{d}x.

Généralisation

Une autre manière de retrouver ce résultat passe par l'application de théorème de Sturm-Liouville et la décomposition de la solution sur la base des solutions propres de la partie spatiale de l'opérateur différentiel sur un espace vérifiant les conditions aux bords.

Dans le cas vu précédemment, cela revient à déterminer les solutions propres de l'opérateur $\Delta u = \partial_{xx}^2 u$ sur l'espace des fonctions deux fois continûment dérivables et nulles aux bords de [0,L]. Les vecteurs propres de cet opérateur sont alors de la forme :

e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right),\ \forall n\geqslant 1,

de valeurs propres associées

\Delta e_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e_n.

Ainsi, on peut montrer que la base des (e_n) est orthonormale pour un produit scalaire, et que toute fonction vérifiant f(0) = f(L) = 0 peut se décomposer de façon unique sur cette base, qui est un sous-espace dense de L²((0, L)). En continuant le calcul, on retrouve la forme attendue de la solution.

Propriétés de la solution de l'équation

Irréversibilité

L'équation de la chaleur a un effet fortement régularisant sur la solution : même si la donnée initiale présente des discontinuités, la solution sera régulière en tout point de l'espace une fois le phénomène de diffusion commencée. Ainsi, le phénomène est irréversible, et on ne peut déterminer l'existence d'une solution à l'équation de la chaleur rétrograde, soit le problème donné où on remplace la condition initiale par une condition finale du type $\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,t_f) \ = \ T_f(x).$

Principe du maximum

La solution de l'équation de la chaleur vérifie le principe du maximum suivant :

\forall (x,t) \in \Omega \times [0,T],\, \min(0, \inf_\Omega T_0) \leqslant T \leqslant \max (0, \sup_\Omega T_0).

Au cours du temps, la solution ne prendra jamais des valeurs inférieures au minimum de la donnée initiale, ni supérieures au maximum de celle-ci.

Autre conséquence, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles stable parce que des petites perturbations des conditions initiales conduisent à des faibles variations de la température à un temps ultérieur en raison de ce principe du maximum.

Autres phénomènes physiques

Il est intéressant de remarquer que l'équation de la chaleur, introduite initialement pour décrire la conduction thermique, apparaît également dans d'autres branches de la physique théorique. Elle permet par exemple de décrire :

le phénomène de diffusion ;
certains aspects probabilistes du mouvement brownien ;

Enfin, il existe un lien avec la mécanique quantique non-relativiste : l'équation de Schrödinger apparait en effet comme une équation de la chaleur en temps imaginaire^[3]. Loin d'être une simple curiosité, cette propriété autorise des développements intéressants, car il est souvent plus facile mathématiquement de travailler avec l'équation de la chaleur qu'avec l'équation de Schrödinger.

Généralisations

L'équation de la chaleur se généralise naturellement :

dans $\mathbb R^n$ pour n quelconque ;
sur une variété riemannienne de dimension quelconque en introduisant l'opérateur de Laplace-Beltrami, qui généralise le Laplacien.

Notes

↑ Fourier Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 Jean Baptiste Joseph baron Fourier Chez Firmin Didot, père et fils, 1822 - http://books.google.fr/books?id=TDQJAAAAIAAJ&hl=fr
↑ Par exemple, une source radioactive qui serait placée à l'intérieur du domaine, ... Il est possible d'introduire de telles sources d'énergie locales en ajoutant un terme à l'équation ; cf. l'article conduction thermique.
↑ Jean Zinn-Justin, Intégrale de chemin en mécanique quantique : introduction, EDP Sciences,‎ 2003 (ISBN 978-2-86883660-1), xv

Voir aussi

Bibliographie

Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot Père et Fils (Paris-1822). Réédition Jacques Gabay, 1988 (ISBN 2-87647-046-2)
Jean Dhombres et Jean-Bernard Robert, Fourier, créateur de la physique mathématique, collection « Un savant, une époque », Belin (1998) (ISBN 2-7011-1213-3)
Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Liens externes

Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 http://books.google.fr/books?id=TDQJAAAAIAAJ&hl=fr
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/conducti/11intro/11intro.htm
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MECAVENIR/cours4_eqchal_loc.pdf
http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num4/GisclonJME4/GisclonJME4.pdf
http://fr.cyclopaedia.net/wiki/Equation-de-la-chaleur

La théorie de la chaleur de Fourier appliquée à la température de la Terre, analyse d'un texte de 1827 de Fourier, site BibNum.
Théorie analytique de la chaleur (1822), chap.III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site BibNum.

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