Vettore di Poynting

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce o sezione sull'argomento fisica non riporta fonti o riferimenti.

Per favore migliora questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili (aiuto, partecipa!).
Il materiale non verificabile può essere messo in dubbio e valutato secondo le linee guida sull'uso delle fonti.

Indice

1 Energia e vettore di Poynting
2 Potenza di un'onda elettromagnetica
3 Quantità di moto di un'onda elettromagnetica
4 Momento angolare di un'onda elettromagnetica
5 Conclusioni
6 Voci correlate

[modifica] Energia e vettore di Poynting

Per definizione il vettore di Poynting, nome dovuto al fisico inglese John Henry Poynting (1852 - 1914), è il prodotto vettoriale del campo elettrico $\vec E$ per il campo magnetico nella materia $\vec H$ :

$\vec P = \vec E \times \vec H = \frac{(\vec E \times \vec B)}{\mu}$

dove $μ$ è la permeabilità magnetica e si misura in $\left[ \frac{J}{m^2 s}\right] = \left[ \frac{W}{m^2}\right]$ .

Se consideriamo una superficie chiusa S che racchiude un certo volume V entro il quale vi è un campo elettromagnetico, il vettore di Poynting si può ricavare direttamente dalla somma delle energie prodotte dal campo elettrico e dal campo magnetico nella forma integrale:

$U = \int_{V} \left(\frac {\vec E \cdot \vec D}{2} + \frac{\vec H \cdot \vec B}{2} \right) dV$

dove $\vec D$ è il vettore spostamento elettrico. Ora attraverso qualche operazione, derivando parzialmente U rispetto al tempo e usando le relazioni tra operatori gradiente e rotore si ottiene:

$-\frac{\partial U}{\partial t} = \int_{S} (\vec E \times \vec H) d\vec S + \int_{V} (\vec E \cdot \vec J ) dV$

Nel primo integrale a secondo membro si trova il prodotto vettoriale che rappresenta il vettore di Poynting e il secondo integrale a secondo membro rappresenta il contributo dell'energia del campo elettrico per la presenza delle cariche libere contenute in V. In pratica questa formula rappresenta l'energia che attraversa un certo volume V racchiuso da una superficie chiusa S nell'unità di tempo.

Quindi il vettore di Poynting rappresenta l'energia elettromagnetica trasportata dall'onda elettromagnetica per unità di tempo attraverso la superficie chiusa S.

Nel caso di un'onda piana sappiamo che i campi elettrico e magnetico sono ortogonali tra loro $\vec E = \vec B \times \vec v$ e ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda e non si ha dissipazione di energia, allora:

$\vec P = \frac{\vec E \times \vec B}{\mu} = \frac{1}{\mu} (\vec B \times \vec v) \times \vec B = \frac{B^2}{\mu} \vec v$

dove $\vec v$ è la velocità di propagazione dell'onda. Oppure in termini di campo elettrico:

$\vec P = \epsilon E^2 \vec v = \frac{E^2}{Z} \hat n$

dove $\hat n$ è il versore che identifica la direzione di propagazione dell'onda e $Z = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$ è l'impedenza caratteristica del materiale entro cui si propaga l'onda.

Il modulo del vettore di Poynting è detto intensità dell'onda cioè l'energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione nell'unità di tempo:

$P = \frac{E^2}{Z} = E^2 \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} = H^2 \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$

Se l'onda piana è approssimabile con un'onda monocromatica allora ha un andamento sinusoidale del tipo (in termini di campo elettrico) $\vec E = \vec E_0 (\vec k \cdot \vec r - \omega t)$ , allora l'intensità dell'onda è anch'essa una funzione sinusoidale negli stessi argomenti e deve essere mediata su un periodo:

$\bar P = \frac{E_{0}^{2}}{2Z} = \frac{E_{eff}^{2}}{Z}$

dove $E_{eff} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ è il valore medio dell'intensità d'onda calcolato su un periodo.

Nel caso di un'onda sferica il fronte d'onda è una superficie sferica e la velocità è radiale. Per cui l'intensità d'onda dipende da r:

$\bar P = \frac{E_{0}^{2}}{2Zr^2} = \frac{E_{eff}^{2}}{Zr^2}$

dunque essa diminuisce come l'inverso del quadrato della distanza.

[modifica] Potenza di un'onda elettromagnetica

La potenza trasferita dall'onda elettromagnetica per unità di volume al materiale è data da:

$W = \vec E \cdot \vec J$

dove è chiaro che non vi è contributo del campo magnetico poiché la forza di Lorentz non produce lavoro. Poiché per la legge di Ohm generalizzata $\vec J = \sigma \cdot \vec E$ e per gli effetti delle onde elettromagnetiche nei conduttori:

$W = \vec E \cdot \vec J = E^2 \cdot \sigma$

Nel caso considerevole in cui l'onda ha una rappresentazione sinusoidale, anche la densità di corrente ha una dipendenza sinusoidale, per cui la potenza deve essere mediata su un periodo:

$\bar{W} = \bar{\vec E \cdot \vec J} = \frac{E_{0}^{2}}{2} \sigma \cos \alpha$

dove abbiamo sviluppato il prodotto scalare e quindi α è l'angolo tra il campo elettrico e il vettore densità di corrente.

[modifica] Quantità di moto di un'onda elettromagnetica

Insieme all'energia un'onda trasferisce una certa quantità di moto $\vec q$ all'unità di volume del materiale e per unità di tempo, data da:

$\bar{\vec q} = \frac{\bar{W}}{v} \hat v$

diretta ovviamente lungo la direzione di propagazione dell'onda. Nel vuoto:

$\bar{\vec q} = \frac{\bar{W}}{c} \hat v$

dove c è la velocità della luce.

[modifica] Momento angolare di un'onda elettromagnetica

Infine un'onda elettromagnetica trasferisce anche un certo momento angolare (polare):

$\vec L = \vec r \times \vec q$

ma l'onda possiede anche un momento angolare intrinseco quando essa è polarizzata circolarmente, (altrimenti nel caso di polarizzazione lineare è nullo), dato da:

$\vec L = \pm \omega \vec P$

dove il segno dipende dalla rotazione e la direzione è longitudinale alla direzione di propagazione dell'onda.

[modifica] Conclusioni

Chiaramente se i campi devono essere rappresentati in termini quantistici queste considerazioni sull'energia, la quantità di moto e il momento angolare vengono meno e interviene la meccanica quantistica, dove solo per accenno, l'energia, per esempio del fotone, dipende dalla frequenza ν:

$E = h \cdot \nu$