Teorema di Darboux
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Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.
È da notare che quando f è continua e differenziabile (f è C1([a,b])), questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi. Ma anche quando f' non è continua, il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.
[modifica] Teorema di Darboux
Sia ![f:\left[a,b\right]\to \mathbb{R}](../../../../math/b/7/2/b728909b3725917ed5d8339bca890e41.png)
una funzione continua a valori reali in ![\left[a,b\right]](../../../../math/f/9/4/f944498af9d6490b5599ba93146f9db8.png)
, che sia differenziabile in 
. Allora f soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni t compreso tra 
e 
, esiste qualche x in tale per cui 
.
[modifica] Dimostrazione
Senza perdita di generalità, si può supporre che 
. Sia 
. Allora 
, 
, e si vuole trovare uno zero di g'.
Siccome g è una funzione continua in [a,b], per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in [a,b]. Questo massimo non può trovarsi in a poiché g' + (a) > 0 cioè g è localmente crescente in a. In modo del tutto simile, g' − (b) < 0, cioè g è localmente decrescente in b e non può avere un massimo in b. Pertanto in massimo deve stare in un punto c compreso in (a,b). Ma allora g'(c) = 0 per il teorema di Fermat sui punti stazionari.
[modifica] Voci correlate
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