Polinomi di Fibonacci
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In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:
I primi polinomi di Fibonacci sono:
- F1(x) = 1
- F2(x) = x
- F3(x) = x2 + 1
- F4(x) = x3 + 2x
- F5(x) = x4 + 3x2 + 1
- F6(x) = x5 + 4x3 + 3x
[modifica] Altre espressioni
La formula esplicita per l'n-esimo polinomio di Fibonacci è:
![\sum_{k = 0}^{\left[ \frac{n - 1}{2} \right]} \binom{n - k - 1}{k} x^{n - 2k - 1}](../../../../math/7/b/2/7b262ec90fbe5b39aeba9c86e206b384.png)
,
dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.
I coefficienti del polinomio n-esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:
- si dispongono i numeri del triangolo allineati a sinistra;
- si prende il primo elemento della n-esima riga;
- si prende il secondo elemento della n-esime riga (se esiste);
- dal questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.
[modifica] Proprietà
- Valutando i polinomi per
si ottengono i numeri di Fibonacci; - sommando i coefficienti di ciascun polinomio si ottengono i numeri di Fibonacci;
- i polinomi di Fibonacci Fn(x) e Fm(x) sono divisibili fra loro se lo sono
e 
; - le radici del polinomio Fn(x) sono date dalla seguente formula:
;
- se è primo, il polinomio Fn(x) è irriducibile e le sue radici si ottengono moltiplicando per
la parte reale delle radici del corrispondente polinomio ciclotomico.
[modifica] Voci correlate
Polinomi speciali
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