Metodo delle tangenti

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma $\,f(x)=0\,$ . Esso si applica dopo avere determinato un intervallo $\,[a,b]\,$ che contiene una sola radice.

Esempio di applicazione del metodo delle tangenti

Il metodo consiste nel sostituire alla curva $\,y=f(x)\,$ la tangente in uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo $\,[a,b]\,$ e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa $\,x_t\,$ del punto in cui la tangente interseca l'asse delle x internamente all'intervallo $\,[a,b]\,$ .

Supponiamo che nell'intervallo $\,[a,b]\,$ la funzione e le sue derivate prima e seconda esistano e siano continue e che la derivata prima e seconda siano diverse da zero.

Conviene tracciare la tangente nell'estremo dell'intervallo in cui la funzione e la sua derivata seconda hanno lo stesso segno; nell'esempio della figura nel punto di ascissa a.

L'equazione della tangente nel punto di ascissa a risulta $y-f(a)=\frac{df(a)}{dx}\cdot(x-a)$ quindi ponendo y=0 $x_0=a-\frac{f(a)}{\frac{df(a)}{dx}}$ .

Abbiamo determinato il nuovo intervallo $\,[x_0,b]\,$ contenente la radice che stiamo cercando. Ripetendo il procedimento per $\,x_0\,$ otteniamo una nuova approssimazione della radice (intersezione della seconda tangente con l'asse delle x)

$x_1 = x_0-\frac{f(x_0)}{\frac{df(x_0)}{dx_0}}$ .

Procedendo in modo iterativo si ottiene la relazione di ricorrenza

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{\frac{df(x_n)}{dx_n}}$

che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione $\,y=f(x)=0\,$ . Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle $\,x_n\,$ converge alla radice.

Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita $τ$ , il procedimento iterativo si fa terminare quando $\left| x_{n+1}-x_n \right| < \tau \cdot |x_{n+1}|$ .