Logica modale

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Nell'ambito della logica formale, si indica come logica modale una qualsiasi logica in cui è possibile esprimere il "modo" in cui una proposizione è vera o falsa. Generalmente la logica modale si occupa dei concetti di possibilità e necessità, ma può essere utilizzata anche per esprimere l'obbligo morale o la credenze. Esempi di proposizioni modali sono quindi "È possibile che piova" o "È necessario che Socrate sia mortale o non mortale", ma anche "È doveroso andare a votare" o "Socrate crede che piova".

Gli operatori modali basilari sono $\Box$ for esprimere la necessità e $\Diamond$ per la possibilità. Nella logica modale classica, ciascuno dei due operatori può essere espresso nei termini dell'altro e dell'operatore di negazione.

$\Diamond p \leftrightarrow \lnot \Box \lnot p;$

$\Box p \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p.$

Quindi si dirà che "È possibile che Socrate sia stato ucciso" se e solo se "Non è necessario che Socrate non sia stato ucciso".

Lo studio delle logiche modale trova applicazione in filosofia, nell'investigazione dei fondamenti della matematica, in informatica e nelle scienze cognitive.

[modifica] Storia

La logica modale nasce in epoca classica con l'analisi delle proposizioni contenenti le espressioni necessario e possibile fatta da Aristotele negli Analitici Primi e nel De Interpretatione. Dopo di lui in epoca classica si occuparono di questo tipo di enunciati i Megariti e gli Stoici.

Tali studi ebbero ampi sviluppi nel medioevo nell'ambito della filosofia Scolastica, in particolare ad opera di Guglielmo di Ockham. Risale a questa tradizione la qualificazione di modale per le espressioni che indicano il modo in cui una proposizione è vera.

La logica modale moderna nasce con le assiomatizzazioni datene nel 1932 da C. I . Lewis nel libro Symbolic Logic scritto con C. H. Langford. L'introduzione di queste assiomatizzazioni era rivolta alla soluzione dei paradossi dell'implicazione logica o materiale, come il fatto che una proposizione falsa implichi qualsiasi proposizione o che una proposizione vera sia implicata da qualsiasi proposizione. Lewis volle allora introdurre il concetto di implicazione stretta, dove "p implica strettamente q" significa "non è possibile che p sia vero e q sia falso" (in simboli $\lnot \Diamond (p \land \lnot q)$ , equivalente a $\Box(p \rightarrow q)$ ). I diversi insiemi di assiomi utilizzati da Lewis per descrivere l'implicazione stretta condussero a cinque sistemi noti come S1 - S5, di cui attualmente solo S4 e S5 sono utilizzati.

Nel 1959 Saul Kripke definì una semantica per le logiche modali basata sul concetto di mondi possibili e sulla relazione di accessibilità tra mondi. In base a tale semantica, la proposizione "È necessario p" è vera in un mondo w se è vera in tutti i mondi v accessibili da w. L'introduzione di tale semantica ha dato inizio agli studi attuali sulle logiche modali.

[modifica] Modalità aletiche

Le modalità aletiche sono quelle relative al modo di essere vero di un enunciato, ovvero se esso è possibilmente vero, necessariamente vero o contingentemente vero. Si tratta delle modalità comunemente intese quando non diversamente specificato.

Le modalità aletiche possono essere intese in diversi sensi

[modifica] Possibilità logica

È il senso più debole, in quanto pressoché qualsiasi cosa intellegibile è logicamente possibile: gli asini possono volare, Socrate può essere immortale e la teoria atomica della materia può essere falsa.

Alla stessa maniera, pressoché nulla è logicamente impossibile: una cosa logicamente impossibile è chiamata contraddizione. È possibile che Socrate sia immortale, ma non è possibile che Socrate sia mortale e immortale. Molti logici ritengono che le verità matematiche siano logicamente necessarie, ad esempio è logicamente impossibile che 2+2 ≠ 4.

[modifica] Possibilità fisica

Qualcosa è fisicamente possibile se è permesso dalle leggi della natura. Ad esempio, è possibile che ci sia un atomo con numero atomico 150, anche se nella realtà tale atomo non esiste. Per contro non è in questo senso possibile che ci sia un atomo il cui nucleo contenga formaggio. Mentre è logicamente possibile accelerare qualcosa oltre la velocità della luce, secondo la scienza moderna ciò non è fisicamente possile per un oggetto dotato di massa.

[modifica] Possibilità metafisica

I filosofi possono prendere in considerazione le proprietà che gli oggetti hanno indipendentemente dalle leggi della natura. Ad esempio, potrebbe essere metafisicamente necessario che qualsiasi ente pensante abbia un corpo e possa avere esperienza del passaggio del tempo, o che Dio esista (o non esista).

La possibilità metafisica è generalmente ritenuta più forte di quella logica, nel senso che ci sono meno cose metafisicamente possibili di quante ce ne siano logicamente. È invece materia di dibattito filosofico il rapporto con la possibilità fisica, e il fatto se le verità metafisicamente necessarie siano tali "per definizione" o perché riflettono qualche fatto rilevante sulla realtà.

[modifica] Modalità epistemiche

Le modalità epistemiche (dal Greco episteme, conoscenza) sono usate per esprimere la certezza di una proposizione. Gli operatori possono essere letti come "È certamente vero che ..." e "Può essere vero (in base alle informazioni disponibili) che ...".

[modifica] Modalità temporali

Le modalità temporali sono utilizzate per esprimere il valore di verità di una proposizione rispetto al tempo. Si hanno due coppie di operatori duali, una riferita al passato e una al futuro. Per il passato l'operatore $\Box$ è letto come "È sempre stato vero che...", mentre l'operatore $\Diamond$ come "C'è stato un istante in cui è stato vero che ...". Per il futuro si avrà invece, rispettivamente, "Sarà sempre vero che ..." e "Ci sarà un istante in cui sarà vero che ...".

[modifica] Modalità deontiche

Le modalità deontiche sono relative agli enunciati concernenti il concetto di dovere. "È obbligatorio ..." è l'interpretazione deontica dell'operatore $\Box$ , "È permesso ..." dell'operatore $\Diamond$ .

[modifica] Assiomatizzazioni

Come si è accennato nell'introduzione storica con riferimento ai sistemi S1 - S5 di Lewis, diversi insiemi di assiomi danno origine a diverse logiche modali. Sul piano semantico sono le proprietà della relazione di accessibilità tra i mondi a originare le diverse logiche.

La più debole logica modale comunemente studiata è chiamata K in onore di Kripke e contiene:

tutti gli assiomi della logica proposizionale
N, la regola di necessitazione: se p è un teorema allora $\Box p$ è un teorema
K, l'assioma di distribuzione: $\Box (p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)$ .

Aggiungendo a K l'assioma T si ottiene la logica chiamata a sua volta T:

T: $\Box p \rightarrow p$

T è detto assioma di riflessività in quanto corrisponde alla proprietà riflessiva della relazione di accessibilità tra mondi. Esso afferma che se p è necessaria allora deve anche essere vera. Quindi se p è vera in tutti i mondi v accessibili da w allora è vera anche in w. Se la relazione non avesse la proprietà riflessiva potrebbero essere vere sia $\Box p$ (p è vera in tutti i mondi accessibili) che $\lnot p$ (in quanto il mondo in cui valuto non è tra quelli accessibili), ma $\Box p \rightarrow p$ e $\Box p$ implicano $p$ (per il modus ponens), e si avrebbe la contraddizione $p \land \lnot p$ .

Altri assiomi comunemente utilizzati sono i seguenti (tra parentesi le proprietà della relazione di accessibilità corrispondenti):

4: $\Box p \rightarrow \Box \Box p$ (proprietà transitiva)
B: $p \rightarrow \Box \Diamond p$ (proprietà simmetrica)
D: $\Box p \rightarrow \Diamond p$ (proprietà seriale)
5: $\Diamond p \rightarrow \Box \Diamond p$ (proprietà euclidea)

Tali assiomi definiscono i seguenti sistemi:

S4 := T + 4
S5 := S4 + B or T + 5 or T + B
D := K + D.

[modifica] Bibliografia

G.E. Huges, M.J. Cresswell, Introduzione alla logica modale, Il Saggiatore, 1983
G.E. Huges, M.J. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, Routlege, 1996. ISBN 0-415-12599-5
P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic, Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-52714-9
P. Blackburn, J. van Benthem, F. Wolker. Handbook of Modal Logic, 2006, North Holland

[modifica] Voci Correlate

Atteggiamenti proposizionali

[modifica] Collegamenti esterni

Massimo Mugnai, "Logica modale e mondi possibili."
Stanford Encyclopedia of Philosophy:, "Modal logic" -- by James Garson (in inglese).
Edward N. Zalta, 1995, "Basic Concepts in Modal Logic." (in inglese)
"List of Logic Systems" (in inglese). Lista delle logiche modali più comuni

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