Formule di Waring

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Le formule di Waring sono formule algebriche utilizzate nella soluzione di un sistema simmetrico, e derivano dalle teorie di Edward Waring, matematico britannico del XVIII secolo.

Le formule più utilizzate sono quelle per potenze del binomio di ordine n = 2 oppure 3, che sono quelle del quadrato e cubo del trinomio. Questo calcolo serve a trasformare le potenze del binomio di variabili $a$ e $b$ in somme e prodotti di queste variaibili. Tali somme e prodotti di queste variabili sono riconducibili alla forma canonica di un sistema simmetrico. Da notare che: $s = (a + b)$ e $p = (a * b)$ .

$a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2 a b = s 2 - 2 p$
$a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3 a 2 b - 3 a b 2 = (a + b) 3 - 3 a b (a + b) = s 3 - 3 p s$
$a 4 + b 4 = (a + b) 4 - 4 a 3 b - 6 a 2 b 2 - 4 a b 3 = (a + b) 4 - 4 a b (a 2 + b 2) - 6 a 2 b 2 = (a + b) 4 - 4 a b ((a + b) 2 - 2 a b) - 6 a 2 b 2 = s 4 - 4 p (s 2 - 2 p) - 6 p 2$
$a 5 + b 5 = (a + b) 5 - 5 a b (a 3 + b 3) - 10 a 2 b 2 (a + b)$
$a 6 + b 6 = (a + b) 6 - 6 a b (a 4 + b 4) - 15 a 2 b 2 (a 2 + b 2) - 20 a 3 b 3$
$a 7 + b 7 = (a + b) 7 - 7 a b (a 5 + b 5) - 21 a 2 b 2 (a 3 + b 3) - 35 a 3 b 3 (a + b)$
$a 8 + b 8 = (a + b) 8 - 8 a b (a 6 + b 6) - 28 a 2 b 2 (a 4 + b 4) - 56 a 3 b 3 (a 2 + b 2) - 70 a 4 b 4$

Per il postulato di Peano, la formula di Waring è deducibile per ogni potenza n. Infatti la proprietà P(n) è stata dedotta per tre valori di n=(2,3,4) ed è perciò generalizzabile ad $n$ qualsiasi.

Come già per la quarta potenza nella quale viene sostituita la formula della seconda potenza del binomio, la ricorsione delle prime 4 in quelle di ordine n-esimo, permette di esprimere il tutto in potenze della somma e prodotto delle variabili a e b. È opportuno vedere le formule di Waring in relazione ai sistemi simmetrici in quanto sono nate ed essenzialmente si usano in questo contesto, nel quale è necessario trasformare le variabili in somme e prodotti.

La risoluzione con questo metodo per ogni potenza n è evidente se si considera il triangolo di Tartaglia: data una potenza n, per ogni termine del tipo : $a k * b (n - k)$ , ne esiste uno del tipo: $a (n - k) * b k$ . Con un raccoglimento a fattor comune dei due termini, si otterranno: un termine del tipo $a (n - k) * b (n - k) * (a (2 k - n) + b (2 k - n))$ , per $n - k < k$ , ovvero $n < 2 k$ .

Le formule di Waring sono deducibili (per una data potenza n) dalla formula di Tartaglia, scomponendo la sommatoria in tre tipi di termini:

- $a n + b n$ ,

- $a n / 2 * b n / 2$ , per n pari,

- $a m * b m * (a o + b o)$ , dove:

$m = [1; n]$ ,

$o = [1; n - 2 k]$ con k numero intero.

Dunque, nelle sommatorie troviamo: la potenza n-esima del binomio, il prodotto dei termini elevato a metà potenza, dei termini "misti" di potenze del prodotto dei termini e di loro somme secondo multipli interi di 2 (fino a $n$ ; o $n - 1$ , se $n$ è dispari).

Abbiamo riportato le formule di Waring per potenze superiori alla quarta per generalizzare agevolmente la formula, ad $n$ qualsiasi.

$a^n + b^n_{} = (a + b)^n - \sum_{i=1}^{f_1} T_i * a^ib^i * [a^{n -2i} + b^{n - 2i}] - f_2$ , dove:

- per $n$ dispari, $f 1 = (n / 2)$ e $f 2 = 0$ ;

- per $n$ pari, $f 1 = [(n / 2) - 1]$ e $f 2 = T i a n / 2 b n / 2$ , con $T i$ i-esimo coefficiente del triangolo di Tartaglia per la potenza $n$ , iniziando a contare da quello più a sinistra.

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