Endofunzione

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In matematica una endofunzione Ã¨ una funzione avente il codominio contenuto o coincidente con il dominio.

Indice

1 Primi esempi
2 Endofunzioni finite
3 Involuzioni come endofunzioni
4 Altri esempi
5 Voci correlate

[modifica] Primi esempi

PuÃ² essere utile considerare l'insieme delle endofunzioni entro un dato insieme S, insieme che denotiamo, come talora si usa fare, con Endo(S). Casi particolari di queste funzioni sono le permutazioni di S, funzioni biiettive di S con sÃ© stesso, e le funzioni costanti di S in sÃ© stesso, chiamate anche collassi. Si tratta di due casi estremi: le permutazioni hanno il codominio piÃ¹ esteso, l'intero S, le funzioni costanti hanno il codominio ridotto ad un solo elemento. Se S ha cardinalitÃ finita n, le sue permutazioni sono n!, mentre le sue endofunzioni costanti sono n, in corrispondenza biunivoca con S stesso.

Tra le endofunzioni aventi codominio coincidente con il dominio non vi sono solo funzioni invertibili (e quindi permutazioni). Un esempio di funzione con codominio uguale al codominio e non invertibile (non biiettiva) Ã¨ l'applicazione che ad ogni intero naturale k asssocia la parte intera di k/2.

[modifica] Endofunzioni finite

Le endofunzioni finite, cioÃ¨ quelle con dominio finito, si possono classificare abbastanza facilmente. Per questo Ã¨ utile visualizzare una tale endofunzione f sull'insieme finito S con il digrafo monogeno equivalente, digrafo i cui nodi sono gli elementi di S e i cui archi sono le coppie $\langle q,f(q)\rangle$ . Per la endofunzione f si possono individuare tutti i sottoinsiemi che sono trasformati dalla f in una parte di sÃ© stessi e tra questi sottoinsiemi si possono distinguere i massimali; queste manovre si effettuano senza difficoltÃ servendosi degli archi opposti a quelli determinati dalla f. Per ogni restrizione della f a un tale insieme Q, si individuano

elementi di Q che vengono permutati ciclicamente in sÃ© stessi (elementi periodici), il cui insieme scriviamo P;
elementi di Q \ P, d chiamare non periodici, i quali applicando la f una o piÃ¹ volte sono trasformati in un elemento periodico.

Casi particolari dei sottodigrafi determinati dai sottoinsiemi Q sono i digrafi delle permutazioni cicliche di Q e i collassi su Q. Sottodigrafi piu` generali dei collassi sono le controarborescenze, digrafi che presentano vari cammini che si concludono in un unico nodo dotato di cappio, la controradice.

In generale su un sottoinsieme Q si ha un ciclo di uno o piÃ¹ nodi periodici e delle controarborescenze formate da nodi non periodici dai quali si puÃ² raggiungere uno dei nodi periodici di cui sopra.

[modifica] Involuzioni come endofunzioni

Casi particolari di endofunzioni sono le involuzione, cioÃ¨ le funzioni coincidenti con le proprie inverse; queste sono evidentemente funzioni biiettive. Il digrafo di una involuzione finita non puÃ² presentare nodi non periodici (che andrebbero contro la biunivocitÃ ) e puÃ² presentare solo cicli con uno o due nodi (altri cicli implicherebbero biiezioni diverse dalle rispettive inverse). I nodi dotati di un cappio sono i punti fissi dell'involuzione ovvero gli elementi autoduali; i nodi costituenti cicli di due elementi costituiscono coppie di elementi duali (v. dualitÃ ).

[modifica] Altri esempi

Esempi di endofunzioni biiettive che non sono involuzioni sono le funzioni espresse da x³, da x²ⁿ⁺¹ per ogni n intero positivo e da Sinh(x) (v. seno iperbolico).