Coincidenza matematica

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In matematica, il termine coincidenza matematica è utilizzato quando due espressioni mostrano una somiglianza che non è spiegata dai teoremi. Una delle espressioni può essere un intero e la caratteristica sorprendente è il fatto che un numero reale è prossimo ad un intero piccolo, o, più in generale, a un numero razionale con un denominatore piccolo.

Dato il grande numero di modi di combinare le espressioni matematiche, uno potrebbe aspettarsi che si verifichino un gran numero di coincidenze; questo è un aspetto della cosiddetta legge dei piccoli numeri. Sebbene le coincidenze matematiche possano risultare utili, il loro interesse è principalmente a carattere di curiosità.

[modifica] Alcuni esempi

$e^\pi\simeq\pi^e$ ; corretto al 3% circa
$\pi\simeq 22/7$ ; corretto al 0.03% circa; $\pi\simeq 355/113$ , corretto alla sesta cifra decimale o allo 0.000008%.
$\pi^2\simeq10$ ; corretto al 3% circa. Questa coincidenza veniva usata nel progettare regoli calcolatori, dove le scale pieghevoli si piegano su $π$ piuttosto che su $\sqrt{10}$ , perché è un numero più utile ed ha l'effetto di piegare le scale all'incirca nello stesso punto; $\pi^2\simeq 227/23$ , corretto allo 0.0004%.
$\pi^3\simeq31$ ; corretto allo 0.02% circa.
$\pi^4\simeq 2143/22$ ,preciso per una parte per $1010$ circa; scoperta di Srinivasa Ramanujan, il quale deve essersi accorto che la rappresentazione in frazione continua di $π 4$ comincia con $[97; 2,2,3,1,16539,1,1,\ldots]$ ..
$\pi^5\simeq306$ ; corretto allo 0.006% circa.

(La teoria delle frazioni continue fornisce un trattamento sistematico di questo tipo di coincidenza; e anche di alcune coincidenze come $2\times 12^2\simeq 17^2$ (ie $\sqrt{2}\simeq 17/12$ ). Curiosamente le frazioni continue delle prime potenze di $π$ raggiungono grandi numeri (>50) abbastanza presto, nel caso di $π 3$ e $π 5$ tanto presto quanto il primo denominatore.)

$1+1/\log(10)\simeq 1/\log(2)$ ; dall' osservazione di Donald Knuth che, a meno del 5%, $log 2 (x) = log(x) + log 10 (x)$ .
; corretto al 2.4%, vedi Prefissi per multipli binari; implica che log₁₀2 = 0.3; valore effettivo circa 0.30103; gli ingegneri fanno largo uso dell'approssimazione per cui 3 dB corrispondono a raddoppiare il livello di potenza. Usando questo valore approssimato di log₁₀2, si possono derivare le seguenti approssimazioni per i logaritmi di altri numeri:
- $3^4\simeq 10\cdot 2^3$ , da cui $\log_{10}3=(1+3\log_{10})/4\simeq 0.475$ ; compare il vero valore di 0.4771 circa.
- $7^2\simeq 10^2/2$ , da cui $\log_{10}7\simeq 1-\log_{10}2/2$ , o 0.85 circa (compare 0.8451)
$e^\pi\simeq\pi+20$ ; corretto allo 0.004% circa.
$e^{\pi\sqrt{n}}$ è vicino a un intero per molti valori di $n$ , particolarmente per $n = 163$ ; questo ha radici nella teoria algebrica dei numeri.
$π$ secondi è un nanosecolo (ie $10 - 7$ anni); corretto circa allo 0.5%
un attoparsec per microfortnight è approssimativamente uguale a 1 pollice per secondo (the actual figure is about 1.0043 inch per second).
un miglio è circa $φ$ chilometri (corretto allo 0.5% circa), dove $\phi={1+\sqrt 5\over 2}$ è la sezione aurea. Dal momento che questa è il limite del rapporto di due termini successivi della Sequenza di Fibonacci, questo da una sequenza di approssimazioni $F n$ mi = $F n + 1$ km, e.g. 5 mi = 8 km, 8 mi = 13 km.
$2^{7/12}\simeq 3/2$ ; corretto allo 0.1% circa. In musica, questa coincidenza significa che la scala cromatica di dodici toni include, per ogni nota (in un sistema a temperamento equabile,che dipende da questa coincidenza), una nota ad essa collegata dal rapporto di 3/2. Questo rapporto di 3/2 è l'intervallo musicale di una quinta e sta alla base del temperamento pitagorico, del temperamento naturale, e invero dei più conosciuti sistemi musicali.
$\pi\simeq\frac{63}{25}\left(\frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right)$ ;