Teorema de Taniyama-Shimura
De Viquip??dia
El teorema de Taniyama???Shimura estableix una connexi?? important entre les corbes el??l??ptiques, que s??n objectes de la geometria algebraica, i les formes modulars, que s??n determinades funcions holomorfes habituals en teoria de nombres. El teorema fou demostrat (i per tant abandon?? la seva categoria de conjectura) entre 1995 i 1999 per Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond i Richard Taylor.
Si p ??s un nombre primer i E una corba el??l??ptica sobre Q (els nombres racionals), podem reduir l'equaci?? que defineix E m??dul p; per a tots excepte un conjunt finit de valors de p obtindrem una corba el??l??ptica sobre el camp finit Fp, amb np elements. Llavors considerem la successi??
- ap = np ??? p,
que ??s un invariant important de la corba el??l??ptica E. Per altra banda, tota forma modular tamb?? genera una successi?? de nombres a trav??s d'una transformada de Fourier. Una corba el??l??ptica la successi?? de la qual coincideix amb la generada per una forma modular s'anomena modular. El teorema Taniyama???Shimura afirma que:
Totes les corbes el??l??ptiques sobre Q s??n modulars.
El teorema fou conjecturat per Yutaka Taniyama el 1955. Amb Goro Shimura increment?? el seu rigor. Posteriorment atragu?? l'atenci?? d'Andr?? Weil, per?? no fou fins als anys 1980 quan es manifest?? la seva veritable import??ncia, ja que es demostr?? que la seva afirmaci?? implicava la de l'??ltim teorema de Fermat. Aquest resultat fou obra de Gerhard Frey, que mostr?? que qualsevol contraexemple del teorema de Fermat donaria lloc a una corba el??l??ptica no modular. El 1995, Andrew Wiles i Richard Taylor provaren un cas especial de la conjectura, suficient per demostrar l'??ltim teorema de Fermat. La conjectura fou finalment demostrada en la seva totalitat el 1999 per Breuil, Conrad, Diamond i Taylor.
