Teorema de Rouché-Frobenius
De Viquipèdia
Sigui el sistema lineal d'equacions
|
amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada
|
|
Es coneix com teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:
- El sistema (1) és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,
|
- Si el sistema (1) és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat (2).
Taula de continguts |
[edita] Precisions complementàries
Com que, si (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial
|
resulta que el sistema (1), en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si, . Si
, aleshores la solució de (1) no és única i el sistema es diu indeterminat.
Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals, , i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals,
, o dels nombres complexos,
, aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.
[edita] Justificació
[edita] Quant a la primera afirmació
La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna
|
dels termes independents a la matriu A del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents, b, no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,
|
i , per tant, hi ha que fan
|
i el sistema (1) té solució. En canvi implica la independència lineal del vector b i, per tant, la no existència dels escalars
, és a dir, la no existència de solucions.
[edita] Quant a la segona afirmació
La segona de les afirmacions del teorema també resulta inmediata després de considerar que, si
|
és una solució del sistema (1) i
|
també ho és, aleshores
|
és una solució del sistema homogeni (2).