Teorema de Rouché-Frobenius

De Viquipèdia

$\begin{cases} \begin{align} \alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} & = \beta^{1} \\ \alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} & = \beta^{2} \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} & = \beta^{n} \\ \end{align} \end{cases} \qquad\qquad\qquad (1)$

amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada

$A = \begin{pmatrix} \alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} \\ \alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots \\ \alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} \\ \end{pmatrix} \,,\qquad (A|b) = \begin{pmatrix} \alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} & \beta^{1} \\ \alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} & \beta^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} & \beta^{n} \\ \end{pmatrix}$

i sistema homogeni associat

$\begin{cases} \begin{align} \alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} &= 0 \\ \alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} &= 0 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\ \alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} &= 0 \\ \end{align} \end{cases} \qquad\qquad\qquad (2)$

Es coneix com teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:

El sistema $(1)$ és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,

$\mbox{rang} \, A = \mbox{rang} \, (A|b)$

Si el sistema $(1)$ és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat $(2)$ .

Taula de continguts

1 Precisions complementàries
2 Justificació
- 2.1 Quant a la primera afirmació
- 2.2 Quant a la segona afirmació
3 Vegeu també

[edita] Precisions complementàries

Com que, si $\mbox{rang} \, A = m$ (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial

$x^{1} = x^{2} = \cdots = x^{m} = 0$

resulta que el sistema $(1)$ , en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si, $\mbox{rang} \, A = m$ . Si $\mbox{rang} \, A < m$ , aleshores la solució de $(1)$ no és única i el sistema es diu indeterminat.

Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals, $\mathbb{Q}$ , i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals, $\mathbb{R}$ , o dels nombres complexos, $\mathbb{C}$ , aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.

[edita] Justificació

[edita] Quant a la primera afirmació

La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna

$b = \begin{pmatrix} \beta^{1} \\ \beta^{2} \\ \vdots \\ \beta^{n} \\ \end{pmatrix}$

dels termes independents a la matriu $A$ del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents, $b$ , no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,

$a_{1} = \begin{pmatrix} \alpha_{1}^{1} \\ \alpha_{1}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{1}^{n} \\ \end{pmatrix} \,,\quad a_{2} = \begin{pmatrix} \alpha_{2}^{1} \\ \alpha_{2}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{2}^{n} \\ \end{pmatrix} \,,\quad\ldots\,, a_{m} = \begin{pmatrix} \alpha_{m}^{1} \\ \alpha_{m}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{m}^{n} \\ \end{pmatrix}$

i , per tant, hi ha $x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m}$ que fan

$x^{1} a_{1} + x^{2} a_{2} + \cdots + x^{m} a_{m} = b$

i el sistema $(1)$ té solució. En canvi $\mbox{rang} \, A < \mbox{rang} \, (A|b)$ implica la independència lineal del vector $b$ i, per tant, la no existència dels escalars $x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m}$ , és a dir, la no existència de solucions.