Lògica proposicional

De Viquipèdia

La lògica proposicional és una branca de la lògica clàssica que estudia les proposicions o sentencies lògiques, les seves possibles avaluacions de veritat i, en el cas ideal, el seu nivell absolut de veritat.

[edita] Lògica proposicional

Proposicions. Formalment parlant, es defineix una proposició com un enunciat declaratiu que pot ser vertader o fals, però mai ambdues coses alhora. Les proposicions es representen mitjançant variables proposicionals i conjuncions, definides com functors o funcions de veritat, de les que s'obtenen fórmules sentencials o sentències.

Aquestes poden ser, segons la seva taula de veritat

• Tautologia: és la sentència que és necessàriament vertadera
• Contradicció: és la sentència que és necessàriament falsa.
• Contingència: és la sentència que pot ser vertadera o falsa.

[edita] Llenguatge formal del càlcul de proposicions

Sintaxi: el primer pas en l'estudi d'un llenguatge qualsevol és definir els símbols bàsics que el constitueixen (alfabet) i com es combinen entre ells per a formar paraules i sentències. En aquest cas, està constituït per:

• Símbols de veracitat: V per a vertader i F per a fals.
• Símbols de variables: p, q, r, s, t....
• Símbols de connectives: ¬, ^;, ∨, v, →, ↔
• Símbols de puntuació: ( , ), per a evitar ambigüitats.

Regles de formació. Les classes de sentències ben formades es defineixen per regles purament sintàctiques, anomenades regles de formació. Aquestes són:

• Una variable proposicional és una sentència ben formada.
• Una sentència ben formada precedida de la negació és una sentència ben formada.
• Dues sentències ben formades unides per una de les partícules connectives binàries constitueix una sentencia ben formada.
• Es poden ometre els parèntesis que tanquen una sentència completa.
• L'estil tipogràfic dels parèntesis es pot variar per fer-los més evidents usant corxets i claus.
• A les conjuncions i disjuncions se'ls pot permetre tenir més de dos arguments.

Les connectives es divideixen per la seva aplicació en:

• Singulars: s'apliquen a una única sentència
• Binàries: s'apliquen a dues sentències.

Per la seva definició, també es poden dividir en:

• Primitives: les variables proposicionals, els parèntesis i les connectives ¬ i ∨.
• Definides: les connectives ∧, →, ↔, i XOR.

[edita] Taules de veritat

La taula de veritat d'una sentència és una taula en la que es presenten totes les possibles interpretacions de les variables proposicionals que constitueixen la sentència i el valor de la veritat de la sentència per a cada interpretació.

Semàntica

• Negació (¬)

Consisteix en canviar el valor de veritat d'una variable proposicional.

p	¬ p
V	F
F	V

• Disjunció (∨)

La sentència serà vertadera quan una o ambdues variables proposicionals siguin vertaderes.

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

• Conjunció (^;)

És una connectiva que pot definir-se com la composició:

p ^; q = ¬(¬p ∨ ¬q)

La sentència serà vertadera només quan ambdues variables proposicionals siguin vertaderes.

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

• Condicional (→)

És una connectiva definida per:

p → q = ¬p ∨ q

La sentència serà vertadera quan es compleixi si és vàlid p llavors ho serà q.

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Bicondicional (↔, si i només si)

És una connectiva definida per:

p ↔ q = ((p → q) ∧ (q → p))

La sentència serà vertadera quan ambdues variables proposicionals siguin iguals.

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

• Disjunció exclusiva (v)

És una connectiva definida per:

p v q = ¬(p ↔ q)

La sentència serà vertadera només quan una de les dues variables proposicionals sigui vertadera.

p	q	p v q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F