Funció de Mertens

De Viquipèdia

La funció de Mertens es defineix com

$M(n) = \sum_{k=1}^{n} \mu(k)$

on μ(k) és la funció de Möbius. És a dir, és la suma acumulativa dels n primers valors de la funció de Möbius. Com els valors de la funció de Möbius són sempre -1, 0 o 1, està clar que la funció de Mertens creix lentament i no existeix cap x tal que M(x) > x. La conjectura de Mertens és més restrictiva, i afirma que no existeix cap x tal que |M(x)| sigui superior a l'arrel quadrada de x. Aquesta conjectura fou negada el 1985. Nogensmenys, la hipòtesi de Riemann, és equivalent a una versió més feble de la conjectura:

$M(x) = o(x^{\frac12 + \epsilon})$

La funció de Mertens és molt útil en teoria de nombres i té una relació molt directa amb la funció zeta de Riemann (i amb la localització de les seves arrels no trivials):

$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n} \frac{\mu(n)}{n^s}$