Trapèze

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Exemple de trapèze.

Un trapèze est un quadrilatère, possédant deux côtés opposés parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés bases.

Avec cette définition, les quadrilatères ABCD et ABDC de la figure sont tous deux des trapèzes (dont les côtés (AB) et (CD) sont parallèles).

Certains auteurs imposent comme condition supplémentaire la convexité du quadrilatère, ce qui revient à exclure les « trapèzes croisés » tels que ABDC.

Propriétés

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180°, soit π radians. La somme des deux autres angles est alors la même. Par exemple dans la figure ci-dessus, les deux paires d'angles ont pour sommets (A,D) et (B,C).

Attention : dans un trapèze, la somme de deux angles consécutifs n'est pas toujours égale à 180° (exemple ici : les angles de sommets A et B).

Cas particuliers

Un trapèze rectangle.

Un trapèze isocèle.

Un trapèze est qualifié de trapèze rectangle dès qu’il possède un angle droit.
Un trapèze est qualifié d’isocèle^[1] lorsqu'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
- deux angles adjacents à une même base sont égaux ;
- les deux bases du trapèze ont la même médiatrice, et celle-ci est un axe de symétrie du trapèze ;
- c'est un quadrilatère inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets sont cocycliques).
Un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur est un parallélogramme, c'est-à-dire que ses deux autres côtés sont aussi parallèles.
Les trapèzes dont les deux côtés qui ne sont pas les bases ont même longueur sont les trapèzes isocèles et les parallélogrammes.
Les quadrilatères qui sont à la fois des trapèzes isocèles et des parallélogrammes sont les rectangles.
Un trapèze qui est un quadrilatère circonscriptible (en) (c'est-à-dire qui possède un cercle inscrit) est appelé trapèze circonscriptible (en).

Aire du trapèze

Découpage d'un trapèze en un rectangle et deux triangles.

L’aire du trapèze vaut le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases.

C’est-à-dire, soit h la hauteur, a la première base, et c la deuxième.

\dfrac{(a+c)h}{2}

Ceci peut se démontrer facilement en remarquant que le trapèze est un rectangle (d'aire ch) auquel on accole deux triangles (dont la somme des aires est (AH + BK)h/2 = (a – c)h/2) ou encore en considérant le parallélogramme obtenu après symétrie de centre le milieu d'un des côtés non parallèles.

On peut aussi^[2]^,^[3] considérer les triangles ADC et ACB, respectivement de bases c et a, et de hauteur commune h.

Une autre formule donne l'aire du trapèze lorsque ne sont connues que les quatre longueurs a, b, c, d des quatre côtés^[4] :

\frac{a+c}{4|a-c|}\sqrt{(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)}

où a et c représentent encore les longueurs (supposées distinctes) des deux bases.

Pour c = 0, on retrouve la formule de Héron.

Barycentre du trapèze

Centre de masse d'un trapèze quelconque.

Le centre de masse d'un trapèze de bases $a$ et $b$ et de hauteur $h$ est situé sur la médiane joignant les deux bases et à une distance $\frac h3\times\frac{a+2b}{a+b}$ de la base de longueur $a$ . C'est le barycentre des milieux $I_a$ et $I_b$ pondérés respectivement par $2a + b$ et $2b + a$ .

Diagonales

En supposant à nouveau que les deux bases a et c sont distinctes, les diagonales p et q sont liées aux quatre côtés par les formules^[4] :

p^2=ac+\frac{ad^2-cb^2}{a-c},\quad q^2=ac+\frac{ab^2-cd^2}{a-c},

équivalentes à

2ac=p^2+q^2-b^2-d^2,\quad a(p^2-q^2+b^2-d^2)=c(p^2-q^2+d^2-b^2)

donc à

a^2=\frac{(p^2-b^2)^2-(q^2-d^2)^2}{2(p^2+b^2-q^2-d^2)},\quad c^2=\frac{(p^2-d^2)^2-(q^2-b^2)^2}{2(p^2+d^2-q^2-b^2)}.

Théorème du trapèze

La droite (OP) passe par I et J.

Dans un trapèze, la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.

Plus précisément : soit ABCD un quadrilatère dont les côtés (AD) et (BC) se coupent en P et les diagonales (AC) et (BD) en O, et soient I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD]. Alors, le quadrilatère est un trapèze si et seulement si I appartient à (OP) (ou, ce qui est donc équivalent : si J appartient à cette droite). De plus, les quatre points (O, P, I, J) sont alors en division harmonique^[5].

Démonstration

Si (AB) et (CD) sont parallèles alors la symétrie parallèlement à leur direction commune et par rapport à (IJ) échange (A, C) avec (B, D). Par conséquent, elle fixe O et P, qui appartiennent donc à (IJ).
Réciproquement, si I appartient à la droite (OP) alors la symétrie par rapport à cette droite et parallèlement à (AB) envoie (AO)∩(BP) = {C} sur (BO)∩(AP) = {D}, donc (CD) est parallèle à (AB).
Enfin, lorsque toutes ces conditions sont réalisées, le théorème de Thalès permet d'affirmer que ${\overline{PJ}\over\overline{PI}}={\overline{DJ}\over\overline{AI}}=-{\overline{OJ}\over\overline{OI}}.$

Méthode des trapèzes

Article détaillé : Méthode des trapèzes.

La méthode de calcul intégral approché dite « des trapèzes », décrite par Isaac Newton et son élève Roger Cotes, consiste à remplacer les arcs de courbe successifs M_iM_i+1 par les segments [M_iM_i+1] : c'est une interpolation linéaire.

La méthode des trapèzes est plus précise que la méthode élémentaire, dite des rectangles, correspondant aux sommes de Riemann, consistant à remplacer la fonction donnée par une fonction en escalier.

Notes et références

↑ Voir l'article Isosceles trapezoid de Wikipédia en anglais.
↑ S.-F. Lacroix, Éléments de géométrie, Mallet-Bachelier,‎ 1855, 17^e éd. (lire en ligne), p. 85.
↑ Eugène Rouché et Charles de Comberousse, Éléments de géométrie, Gauthier-Villars,‎ 1867 (lire en ligne), p. 177.
1 2 (en) Eric W. Weisstein, « Trapezoid », MathWorld.
↑ Dany-Jack Mercier, L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques, vol. 1, Publibook,‎ 2004 (lire en ligne), p. 143.

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