Théorème de Rolle

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Rolle (souvent mentionné sous le nom de lemme de Rolle), en référence à Michel Rolle, est un résultat fondamental concernant la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. Il énonce que si une fonction dérivable prend la même valeur en deux points, alors sa dérivée s'annule au moins une fois entre ces deux points.

Énoncé

Illustration du théorème de Rolle. Ici, trois valeurs c vérifient le théorème.

Le théorème de Rolle s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ une fonction à valeurs réelles continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ telle que $f(a)=f(b).$ Alors, il existe (au moins) un réel $c$ dans $] a, b [$ tel que $f'(c)=0.$

Remarques

Le théorème de Rolle ne heurte pas l'intuition :

dire qu'il existe au moins un élément où la dérivée de f est nulle, c'est dire qu'il existe un point où la tangente à la courbe y=f(x) est horizontale ;
dire que la fonction est dérivable sur l'intervalle, c'est dire que sa représentation graphique n'a pas de discontinuités, ni même de points anguleux.

Les hypothèses nous garantissent par le théorème des bornes que la fonction a un minimum et un maximum. Il y a donc bien un point c entre a et b tel que f(c) soit un maximum ou un minimum. En un tel point, la tangente à la courbe est horizontale.

Ce théorème permet d'intégrer les nécessaires propriétés topologiques des nombres réels dans l'analyse des fonctions réelles d'une variable réelle. Les propriétés topologiques sont intégrées à la démonstration à travers le théorème des bornes.

Le théorème de Rolle ne s'étend pas aux fonctions d'une variable réelle et à valeurs vectorielles. Ainsi, la fonction dérivable de ℝ dans ℂ définie par $f (t) = e i t$ satisfait $f (0) = f (2π)$ alors que sa dérivée, $f ' (t) = i e i t$ , ne s'annule pas.

Applications

Ce théorème est utilisé pour la démonstration du théorème des accroissements finis (dont il est un cas particulier, d'où son appellation fréquente de lemme de Rolle) ; ce dernier théorème sert à son tour à construire le développement limité d'une fonction et à établir le théorème de Taylor. C'est la raison pour laquelle le théorème de Rolle est incontournable dans la construction de l'analyse.

Si P est un polynôme réel ayant au moins p racines réelles distinctes, alors son polynôme dérivé a au moins p – 1 racines réelles distinctes.

Démonstration

Si f est constante, la dérivée de f est nulle sur l'intervalle ouvert, donc la conclusion du théorème de Rolle est bien satisfaite. Dans le cas contraire, comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a, b], elle admet et atteint (d'après le théorème des bornes) un minimum global et un maximum global. Comme f n'est pas constante, le minimum global et le maximum global sont différents. Par conséquent, le minimum global et le maximum global ne sont pas tous deux égaux à f(a) = f(b). Ainsi, l'un au moins de ces deux extrema est atteint en un point c appartenant à l'intervalle ouvert ]a, b[ .

On suppose ensuite, sans perte de généralité, que f(c) est maximum global. Les taux d'accroissement de la fonction f entre c et un deuxième point ont alors un signe connu :

pour h strictement positif et tel que c + h appartienne à l'intervalle [a, b] $\frac{f(c+h)-f(c)} h \leq 0.$ En considérant la limite quand h tend vers 0 par valeurs positives, on déduit que le nombre dérivé $\scriptstyle\ f'(c)\$ est négatif ;
pour h strictement négatif et tel que c + h appartienne à l'intervalle [a, b] $\frac{f(c+h)-f(c)} h \geq 0.$ En considérant la limite quand h tend vers 0 par valeurs négatives, on déduit que le nombre dérivé $\scriptstyle\ f'(c)\$ est positif.

Au bout du compte, la dérivée de f au point c, étant à la fois positive et négative, est donc nulle.

La démonstration est analogue si f(c) est un minimum global, avec la seule différence que les signes des taux de variation sont les signes opposés à ceux de la démonstration qui précède.

C'est parce que c appartient à l'intervalle ouvert ]a,b[ que l'on a pu considérer ces taux d'accroissements : si c était égal à b le premier taux d'accroissement n'aurait pas de sens et si c était égal à a c'est le second taux d'accroissement qui ne serait pas défini.

Généralisation

Soient $-\infty$ ≤ a < b ≤ $+\infty$ et f : ]a, b[ → ℝ dérivable et possédant en a et b une même limite L (éventuellement infinie). Alors il existe un réel c dans ]a, b[ tel que f' (c) = 0.

Cette généralisation se déduit du théorème usuel en conjuguant f par un difféomorphisme entre ℝ et un intervalle borné, pour ramener les valeurs éventuellement infinies de a, b et L à des valeurs finies.

Démonstration

En posant

$\arctan(-\infty)=-\pi/2,~\arctan(+\infty)=\pi/2,~a'=\arctan(a),~b'=\arctan(b),$

l'application

$g:=\arctan\circ f\circ\tan :]a',b'[\to]-\pi/2,\pi/2[$

est dérivable et prolongeable par continuité par

$g(a')=g(b')=\arctan(L).$

On peut donc lui appliquer le théorème de Rolle usuel :

$\exists c'\in]a',b'[, g'(c')=0$

d'où, en posant

$c=\tan(c')~:\quad c\in]a,b[\text{ et }f'(c)=0.$

Histoire

Michel Rolle publie son traité d'Algèbre^[1] en 1690 suivi, en 1691, d'une Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés^[2]. Dans ces ouvrages, il propose une méthode permettant de déterminer un encadrement des racines d'un polynôme. Cette méthode, purement algébrique, consiste à définir à partir du polynôme initial un autre polynôme, appelé cascade, obtenu en multipliant chaque coefficient du polynôme initial par le degré correspondant^[3]^,^[4]. Ainsi, le polynôme

(y-6)(y-21)(y-30)=y^3-57y^2+936y-3780

admet comme cascade le polynôme

3y^3-104y^2+936y = 3y(y-12)(y-26)

Excluant la racine nulle de la cascade artificiellement introduite, Rolle énonce que les racines de la cascade (12 et 26) séparent les racines du polynôme initial (6, 21 et 30)^[5]. MacLaurin donnera une autre démonstration^[6] du même théorème en 1729, également sous forme algébrique.

À la même époque se développe le calcul infinitésimal de Leibniz et Newton et il apparaît alors que la cascade de Rolle, au facteur y près, n'est autre que la dérivée du polynôme initial. Le théorème de Rolle sera utilisé pendant près de 150 ans dans son cadre algébrique pour séparer ou approcher^[7] les racines d'un polynôme, mais finira par prendre la forme : entre deux racines d'une équation est comprise une racine de l'équation dérivée^[8]^,^[9].

L'extension du théorème de Rolle au champ de l'analyse est directement liée à l'évolution de la façon dont on démontre le théorème des accroissements finis. Lagrange^[10] et Cauchy^[11] démontrent ce théorème en montrant l'inégalité des accroissements finis, puis en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la dérivée pour obtenir une égalité. Ils supposent pour cela que la dérivée est continue. Un changement important a lieu en 1868 avec le Cours de calcul différentiel et intégral de Joseph-Alfred Serret. Sur une idée de Pierre-Ossian Bonnet, ce cours adopte la présentation moderne : ramener le théorème des accroissements finis au cas où la fonction s'annule aux bornes de l'intervalle et tirer parti du fait qu'une telle fonction admet un extremum à l'intérieur de l'intervalle où la dérivée s'annule^[12]. Cette démarche nouvelle ne manquera pas d'être remarquée, notamment par Darboux en 1875^[13] qui s'intéresse alors aux fonctions dérivables à dérivée non continue. L'intérêt de la démonstration de Bonnet est en effet d'être à la fois plus simple que les démonstrations de Lagrange ou Cauchy, mais aussi plus générale, la continuité de la dérivée n'étant pas nécessaire. Cependant, dans l'ouvrage de Serret, le lien avec le théorème algébrique de Rolle n'est pas encore affirmé. Ce lien apparaîtra dans les ouvrages de mathématiques qui suivront, et peu d'années après, la démarche de Bonnet est définitivement adoptée, le nom de Rolle étant alors également attribué au lemme permettant de prouver l'égalité des accroissements finis^[14]^,^[15].

Notes et références

↑ Michel Rolle, Traité d'algèbre ou principes généraux pour résoudre les questions de mathématique, Paris (1690)
↑ Michel Rolle, Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés, Paris (1691)
↑ Michel Rolle, Traité d'Algèbre, p.125
↑ Julius Chain, The method of cascades, Amer. Math. Monthly, vol.44, n°1, (janvier 1937), 24-29
↑ Michel Rolle, Démonstration d'une méthode, p.20
↑ MacLaurin, Philosophical transactions of the Royal Society of London (1729), p.88
↑ Lagrange, Sur la résolution des équations numériques, Mémoires de l'Académie de Berlin, 1769, Oeuvres de Lagrange, t.II, p.539
↑ Giusto Bellavitis, sul più facile modo di trovare le radici reali delle equazioni algebriche, e sopra un nuovo metodo per la determinazione delle radici immaginarie, Memorie del Real Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arte, (1847), Vol. III, p. 111 énonce que « Rolle osserv'o che fra due radici di una equazione è sempre compresa una radice della sua equazione derivata »
↑ Agrégation des sciences mathématiques (1878) : théorème de Rolle, application à la séparation des racines d'une équation algébrique ou transcendante, Nouvelles annales de mathématiques, deuxième série, (1879), tome XVIII, Gauthier-Villars, p.40.
↑ Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies, (1797), Journal de l'école polytechnique, 9ème cahier, tome III, §52, p.49
↑ Cauchy, Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, tome I, Paris (1823), p.28
↑ Joseph-Alfred Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, Gauthier-Villars (1868), p.19
↑ Gaston Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, Annales scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 2^e série, tome 4, (1875), p.111.
↑ Charles de Comberousse, Cours de mathématiques, à l'usage des candidats à l'Ecole Polytechnique, à l'Ecole Normale Supérieure, à l'École centrale des arts et manufactures, Tome 3, deuxième édition, Gauthier-Villars, Paris (1887), p.526, §633. Comberousse reprend mot à mot la démonstration de Bonnet, mais précise : « Cette proposition n'est autre chose que le théorème de Rolle [...]. On remarquera que la démonstration précédente ne suppose pas la continuité de la dérivée f'(x), mais seulement que, pour chaque valeur de x comprise dans l'intervalle, elle a une valeur unique et déterminée ». Comberousse en déduit ensuite le théorème des accroissements finis. Dans le tome 4, p.141 §1238, Comberousse utilise également le théorème de Rolle pour séparer les racines d'une équation.
↑ Par contre, si Tannery adopte la démonstration moderne du théorème de Rolle et du théorème des accroissements dans son cours de 1886 Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, il ne cite pas le nom de Rolle.

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