Relations entre coefficients et racines

Un polynôme $P(x)$ de degré $n$ s'écrit sous sa forme la plus générale :

P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\,

où $a_i$ est appelé coefficient de $x^i$ . On peut aussi définir $P$ grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de $x$ qui annulent $P$ . Le théorème de d'Alembert-Gauss nous assure que tout polynôme de degré $n$ admet exactement $n$ racines sur $\mathbb{C}$ , éventuellement multiples (sur $\mathbb{R}$ en revanche, ce n'est pas toujours vrai). On montre que $P$ peut se réécrire :

P(x) = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\,

avec $r_i$ les racines de $P$ , éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de Viète

Polynômes symétriques

Article détaillé : Polynôme symétrique.

On définit le $k$ -ième polynôme symétrique, noté $\sigma_k$ , comme la somme de ses éléments multipliés $k$ fois. Par exemple, les polynômes symétriques associés aux variables $w$ , $x$ , $y$ et $z$ sont :

\sigma_1 = w + x + y + z~,

\sigma_2 = wx + wy + wz + xy + xz + yz~,

\sigma_3 = wxy + wyz + xyz + xzw~,

\sigma_4 = wxyz~.

Plus généralement,

\sigma_1=\sum_{i=1}^n x_i~,

\sigma_2=\sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j~,

\vdots

\sigma_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_k}~,

\vdots

\sigma_n=x_1x_2\ldots x_n~.

Théorème

Soient $P$ un polynôme défini comme ci-dessus et $x_i$ les $n$ racines de $P$ , éventuellement multiples. Nous avons le résultat suivant :

\sigma_{k}=(-1)^{k}\cdot\frac{a_{n-k}}{a_{n}}\,

Exemples

Cas $n = 2$ . Soient $P(X) = aX^2 + bX + c$ et $x_1, x_2$ ses racines. Alors,

x_1+x_2 = -\frac{b}{a}~,

x_1x_2 = \frac{c}{a}~.

Cas $n = 3$ . Soient $P(X) = aX^3 + bX^2 + cX + d$ et $x_1, x_2, x_3$ ses racines. Alors,

x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}~,

x_1x_2+x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}~,

x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}~.

Sommes de Newton

Article détaillé : Identités de Newton.

Exemple introductif

On se donne le polynôme $P(x) = x^3 +2x^2 + 3x + 4$ avec $a$ , $b$ , $c$ ses racines. On veut déterminer la somme $a^2 + b^2 + c^2$ . Pour cela, nous disposons de l'identité suivante :

a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc)\,

Si bien que, d'après les relations de Viète :

a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2-2\cdot3=-2

Théorème

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose $s_k = r_1^k + \cdots + r_n^k$ , où les $r_i$ sont les racines de $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0$ . (En particulier, $s_0=n$ ). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement^[1] :

a_ns_1 + a_{n-1} = 0~,

a_ns_2 + a_{n-1}s_1 + 2a_{n-2}= 0~,

a_ns_3 + a_{n-1}s_2 + a_{n-2}s_1 + 3a_{n-3} = 0~,

\vdots

a_ns_d + a_{n-1}s_{d-1} + \ldots + a_{n-d+1}s_1+da_{n-d}= 0~.

Note et référence

↑ Pellet, « Expression de la somme des puissances semblables des racines d'une équation, en fonction des coefficients », Nouvelles annales de mathématiques, 2^e série, vol. 14,‎ 1875, p. 259-265 (lire en ligne)

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