Opérateur hamiltonien

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L’opérateur de Hamilton, opérateur hamiltonien ou tout simplement hamiltonien est un opérateur mathématique.

Cet opérateur fait partie de la mécanique hamiltonienne, science qui a permis de reformuler les lois de la mécanique newtonienne. Il est utilisé par la mécanique classique, la physique statistique et la mécanique quantique.

Enoncé

Cet opérateur est noté $\mathcal{H}$ et c'est la transformée de Legendre du lagrangien :

\mathcal{H} \left(q_i,p_i,t\right) \ = \ \sum_k^N \dot{q}_k \ p_k - \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i,t)

Dans le membre de droite de cette formule, les vitesses sont supposées être exprimées en fonction des moments conjugués.

Si les équations qui définissent les coordonnées généralisées sont indépendantes du temps t, on peut montrer que $\mathcal{H}$ est égal à l'énergie totale E, elle-même étant égale à la somme de l'énergie cinétique T et de l'énergie potentielle V ( $\mathcal{H} = E = T + V$ ).

Utilisation

En mécanique quantique, l’opérateur hamiltonien permet de décrire l'évolution d'un système quantique au cours du temps dans la représentation de Schrödinger par l'équation :

i\hbar \frac{d |\psi\rangle}{d t} = \hat{H} |\psi \rangle

où $|\psi \rangle$ est la fonction d'onde du système, et $\hat{H}$ l'opérateur hamiltonien. Dans un état stationnaire :

|\psi (t)\rangle = e^{-i \frac {E t}{\hbar}} |\psi(0)\rangle,

où $E$ est l'énergie de l'état stationnaire. On voit aisément qu'un état stationnaire est un vecteur propre de l'opérateur hamiltonien, avec l'énergie comme valeur propre. Le hamiltonien étant un opérateur hermitien, les énergies obtenues sont réelles.

Dans la représentation de Heisenberg, les états sont indépendants du temps, et les opérateurs sont dépendants du temps. L'opérateur hamiltonien intervient alors dans l'équation d'évolution des opérateurs :

i \hbar \frac{\mathrm{d} \hat{A}}{\mathrm{d}t} = i\hbar \frac{\partial \langle\hat{A}\rangle}{\partial t} +[\hat{A},\hat{H}]

où $\partial/\partial t$ désigne une dérivation par rapport à une dépendance explicite par rapport au temps et $[\hat{A},\hat{H}]=\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A}$ est le commutateur des opérateurs $\hat{A}$ et $\hat{H}$ .

On passe de la représentation de Schrödinger à la représentation de Heisenberg au moyen de l'opérateur d'évolution.

Dans le cas non-relativiste, l'opérateur hamiltonien peut être obtenu à partir du hamiltonien de la mécanique classique par le principe de correspondance. Si $H(p,q)$ est le hamiltonien classique, le hamiltonien quantique est obtenu en substituant aux variables classiques $p$ (impulsion) et $q$ (coordonnées) les opérateurs $\hat{p}$ et $\hat{q}$ .

Il est parfois nécessaire de symétriser le hamiltonien ainsi obtenu pour s'assurer de l'hermiticité du hamiltonien. En effet, le principe de correspondance permet toujours d'obtenir le hamiltonien classique à partir du hamiltonien quantique en remplaçant les opérateurs par des nombres, mais plusieurs opérateurs quantiques, ne différant que par l'ordre des opérateurs (qui ne commutent pas) peuvent conduire à la même variable quantique.

Bibliographie

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition].
Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions].
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 3 : Mécanique quantique [détail des éditions].
J. L. Basdevant, J. Dalibard, Mécanique quantique [détail des éditions].

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