Opérateur (mathématiques)

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En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

Article détaillé : Opérateur linéaire.

Définition d'un opérateur

Définition

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

O \ : \quad E \ \to \ F

Opérateur linéaire

Par définition de la linéarité :

Un opérateur $O : E \to F$ est linéaire si et seulement si :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2, \ \forall (x_1, x_2) \in E, \quad O( \lambda x_1 + \mu x_2) \ = \ \lambda O(x_1) + \mu O(x_2)

où $\mathbb{C}$ est le corps des scalaires de E et F.

Remarque

Lorsque $F = \mathbb{R}$ , un opérateur est une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

Continuité

Par définition de la continuité :

Soient O un opérateur de domaine $D_0\subset E$ et à valeurs dans F, et $x_0 \in D_O$ . L'opérateur O est dit continu en $x_0$ si et seulement si pour tout voisinage V de $y_0 = O(x_0)$ , il existe un voisinage $U$ de $x_0$ tel que :

\forall x \, \in \, U\cap D_O \ , \quad O(x) \, \in \, V

L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points $x_0 \in D_O$ de son domaine.

Bibliographie

A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin ; Introductory Real Analysis, Dover Publications, Inc. (1975), ISBN 0-486-61226-0.

T. Kato ; Perturbation Theory for Linear Operator, Serie : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2^e édition-1995), ISBN 3-540-58661-X.

B. Yosida ; Functionnal Analysis, Serie : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6^e édition-1995), ISBN 3-540-58654-7.

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