Loi universelle de la gravitation

Les satellites et les projectiles obéissent à la même loi.

La loi de la gravitation ou loi de l'attraction universelle, découverte par Isaac Newton, est la loi décrivant la gravitation comme une force responsable de la chute des corps et du mouvement des corps célestes, et de façon générale, de l'attraction entre des corps ayant une masse, par exemple les planètes, les satellites naturels ou artificiels^[1]^{[réf. incomplète]}. Cet article présente essentiellement les aspects de la mécanique classique de la gravitation, et non pas la relativité générale qui procède d'un cadre plus général dans un nouveau paradigme.

Expression mathématique selon Isaac Newton

Deux corps ponctuels de masses respectives $M_A$ et $M_B$ s'attirent avec des forces de mêmes valeurs (mais vectoriellement opposées), proportionnelles à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.

La force exercée sur le corps $B$ par le corps $A$ est vectoriellement donnée par

{F}_{A/B}= {F}_{B/A} = G\frac{M_A M_B}{d^2}

${M_A}$ et ${M_B}$ en kilogramme (kg); d en mètre (m); ${F}_{A/B}$ et ${F}_{B/A}$ en newton (N)

où G est la constante gravitationnelle, elle vaut dans les unités SI, le CODATA 2010 ^[2]

G\ =\ 6,67384\ \times 10^{-11} \ \mbox{N}\cdot \mbox{m}^2 \cdot\ \mbox{kg}^{-2}

Énergie potentielle de gravitation

Voici le calcul menant à l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un corps de masse m à une distance R d'un corps de masse M produisant le champ de gravitation :

\Delta U_{\text{potentielle}}=\int_\infty^R \vec{F}\cdot\vec{dl} = \int_\infty^R\frac{-GMm}{r^2} dr\cdot\vec{u_r}\cdot\vec{u_r}\ = GMm\int_\infty^R\frac{-dr}{r^2} = GMm \left[\frac{1}{r}\right]_\infty^R

D'où :

U_{\text{potentielle}}=-\frac{GMm}{R}

Cette formule est très apparentée à celle de l'électrostatique, qui est issue de la loi de Coulomb (qui est simplement la loi de gravitation universelle traduite en électricité). Ainsi, tous les calculs de gravimétrie sont transposables en électrostatique et réciproquement, ce qui est une économie de pensée considérable.

Énergie potentielle d'une sphère homogène

Soit un corps sphérique de rayon R et de masse volumique uniforme $\rho$ .

On peut démontrer que son énergie potentielle interne $U_{potentielle}$ est égale à :

U_{\text{potentielle}}= -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}

Démonstration rapide

Nous voulons calculer l'énergie potentielle d'une coquille sphérique d'épaisseur dr située à la distance r.

dU_{\text{potentielle}}=-\frac{G M dm}{r}

Avec $M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho ; dm = 4 \pi r^2 \rho dr$

On construit la sphère à partir de coquilles sphériques d'épaisseur dr superposées de r=0 jusqu'à r=R.

dU_{\text{potentielle}} = -\frac{G\frac{4}{3}\pi r^3\rho 4\pi r^2 \rho dr}{r}

U_{\text{potentielle}} = -G\frac{4}{3}4\pi^2\rho^2\int_0^R r^4dr = -G\frac{4}{3}4\pi^2\rho^2\frac{R^5}{5} = -G\frac{3}{5}\left(\frac{4}{3}\pi R^3\rho\right)\left(\frac{4}{3}\pi R^3\rho\right)\frac{1}{R}=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}

Histoire de la découverte de la force de gravitation

Travaux antérieurs à Newton

Chargé par Tycho Brahe d'étudier le mouvement des planètes, Johannes Kepler écrit ses conclusions dans l'ouvrage « Astronomia nova » où sont indiquées trois lois que vérifie le mouvement des planètes et des astres, ces lois seront par la suite appelées « lois de Kepler ». Dans « Harmonices Mundi », Kepler écrivit : « C'est comme si une force émane du Soleil ». Il y étudia la piste d'une force magnétique.

Sur ces bases, à partir de la 3^e loi de Kepler, Isaac Newton développa sa théorie sur la gravitation.

Portrait d'Isaac Newton (1643-1727 par Godfrey Kneller (1689)

Isaac Newton (1643-1727) publie son ouvrage fondamental, portant le titre Principes mathématiques de la philosophie naturelle (Principia mathematica philosophiae naturalis) en 1687. Il y pose les fondations d'une nouvelle physique. Il y expose son système du monde et démontre les lois de Kepler à partir de la loi d'attraction universelle des masses^[3]. Selon celle-ci, deux points massiques quelconques de l'univers s'attirent avec une force qui est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare, et que la force agit le long de la direction qui les joint. Cette loi fera par la suite référence dans les domaines de la mécanique, de la mécanique céleste, de la géodésie et de la gravimétrie.

Sur la loi d'attraction des corps, les idées les plus vagues et changeantes ont circulé avant Newton, mais celui-ci ne fut pas le premier à penser que l'action diminuait avec la distance comme l'inverse du carré. Pour Roger Bacon, toutes les actions à distance se propagent en rayons rectilignes, comme la lumière. Johannes Kepler reprend cette analogie. Or, on savait depuis Euclide que l'intensité lumineuse émise par une source varie en raison inverse du carré de la distance à la source. Dans cette analogie optique, la virtus movens (vertu mouvante) émanant du Soleil et agissant sur les planètes devrait suivre la même loi. Toutefois, en ce qui concerne la dynamique, Kepler demeure un péripatéticien, c'est-à-dire un disciple d'Aristote. Ainsi, pour lui la force est proportionnelle à la vitesse et non au taux de variation de la vitesse (à l'accélération), comme le postulera plus tard Newton. De sa deuxième loi (r v = constante), Kepler tirera donc la conséquence erronée suivante : la virtus movens du Soleil sur les planètes est inversement proportionnelle à la distance du Soleil. Pour concilier cette loi avec l'analogie optique, il soutient que la lumière se répand de tous côtés dans l'espace, alors que la virtus movens n'agit que dans le plan de l'équateur solaire.

Plus tard, Ismaël Boulliau (1605-1691) pousse jusqu'au bout l'analogie optique dans son ouvrage Astronomia Philolaïca, paru en 1645. Il soutient donc que la loi d'attraction est inversement proportionnelle au carré de la distance. Toutefois, pour Boulliau, l'attraction est normale au rayon vecteur, tandis que pour Newton elle est centrale. D'autre part, René Descartes se bornera à remplacer la «virtus movens» de Kepler par l'entraînement d'un tourbillon éthéré. Il est suivi en cela par Roberval, qui est lui aussi un adepte de la théorie des tourbillons. Plus méritoirement, Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679) explique pourquoi les planètes ne tombent pas sur le Soleil en évoquant l'exemple de la fronde : il équilibre l'«instinct» que possède toute planète à se porter vers le Soleil par la «tendance» que possède tout corps en rotation à s'éloigner de son centre. Pour Borelli, cette vis repellens (force répulsive) est inversement proportionnelle au rayon de l'orbite.

Robert Hooke (1635-1703)

Robert Hooke, secrétaire de la «Royal Society», admet que l'attraction décroît avec la distance. En 1672, il se prononce pour la loi de l'inverse carré, en se basant sur l'analogie avec l'optique. Cependant, ce n'est que dans un écrit daté de 1674 et intitulé «An attempt to prove the annual motion of the Earth» (Un essai pour prouver le mouvement annuel de la Terre) qu'il formule clairement le principe de la gravitation. Il écrit en effet que « tous les corps célestes, sans exception, exercent un pouvoir d'attraction ou de pesanteur dirigé vers leur centre, en vertu duquel non seulement ils retiennent leurs propres parties et les empêchent de s'échapper, comme nous voyons que le fait la Terre, mais encore ils attirent aussi tous les corps célestes qui se trouvent dans la sphère de leur activité. D'où il suit, par exemple, que non seulement le Soleil et la Lune agissent sur la marche et le mouvement de la Terre, comme la Terre agit sur eux, mais que Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne ont aussi, par leur pouvoir attractif, une influence considérable sur le mouvement de la Terre, de même que la Terre en a une puissante sur le mouvement de ces corps. »

Comme on le voit, Hooke avait formulé le premier la loi de l'attraction des planètes tout à fait correctement, mais il ne l'avait pas établie. Pour valider son hypothèse de l'inverse carré, Hooke aurait dû connaître les lois de la force centrifuge. Or, les énoncés de celles-ci ne furent publiés par Huyghens qu'en 1673 sous la forme de treize propositions annexées à son «Horologium oscillatorium». En fait, Huyghens avait rédigé dès 1659 un traité intitulé «De vi centrifuga» (Sur la force centrifuge), dans lequel ces lois étaient démontrées, mais celui-ci ne parut qu'en 1703, dans ses œuvres posthumes éditées par de Volder et Fullenius. Toutefois, dès 1684, Sir Edmond Halley (1656-1742), ami de Newton, applique ces théorèmes à l'hypothèse de Hooke. En utilisant la troisième loi de Kepler, il trouve la loi de l'inverse carré.

Première édition des «Principia Mathematica» annotée de la main d'Isaac Newton.

En 1687, Newton publie ses «Principes mathématiques de la philosophie naturelle». Par une analyse analogue à celle de Halley, il formule la loi de l'attraction inversement proportionnelle au carré de la distance, en se fondant sur la troisième loi de Kepler^[4]. Néanmoins, étant sans doute plus scrupuleux que ses précurseurs, Newton entend soumettre cette loi au contrôle de l'expérience. Aussi cherche-t-il à vérifier si l'attraction exercée par la Terre sur la Lune répond à cette loi et si l'on peut identifier cette attraction à la pesanteur terrestre, afin d'établir le caractère universel de l'attraction. Sachant que le rayon de l'orbite lunaire vaut environ 60 rayons terrestres, la force qui maintient la Lune sur son orbite serait, dans ces conditions, 60²=3600 fois plus faible que la pesanteur. Un «grave»^[5] tombant en chute libre au voisinage de la surface terrestre parcourt dans la première seconde une distance de 15 pieds, ou 180 pouces. La Lune devrait donc tomber vers la Terre à raison d'un vingtième de pouce par seconde. Or, connaissant la période de révolution de la Lune et la dimension de son orbite, on peut calculer sa vitesse de chute. Avec la valeur acceptée en Angleterre en ce temps, Newton trouva seulement un vingt-troisième de pouce par seconde. Devant cette divergence, il renonça à sa théorie. Ce n'est que seize ans plus tard (en 1682) qu'il apprit au cours d'une réunion de la « Royal Society » la valeur du rayon terrestre déterminée par Picard en France une douzaine d'années plus tôt. Avec la valeur que Picard donnait pour le rayon de la Terre, Newton trouva que la vitesse de chute de la Lune était bien un vingtième de pouce par seconde, valeur qui confirmait sa théorie.

Parmi les propositions intéressant la mécanique céleste et la gravimétrie, on trouve dans les «Principia mathematica» plusieurs théorèmes sur l'attraction des sphères et des autres corps. Par exemple, Newton démontre que l'attraction gravifique d'un corps sphérique dont la masse est répartie sur des couches sphériques isopycniques est la même que celle d'un point massique situé au centre du corps et possédant la masse totale de celui-ci. Une autre conséquence importante de la théorie de Newton, détaillée aussi dans les Principia, est que la Terre doit être légèrement aplatie aux pôles du fait de la force centrifuge créée par la rotation de la terre sur elle-même.

Compatibilité de l'hypothèse newtonienne avec la troisième loi de Kepler

On part de la 3^e loi de Kepler, s'appliquant à tout astre du système solaire :

\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 a^3=k

Avec a, demi grand-axe de l'orbite, T période (année de l'astre), k constante de gravitation.

Dans le cas d'une orbite circulaire, la 3^e loi de Kepler s'écrit :

\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r^3=k

où r est le rayon de l'orbite circulaire. En divisant les deux termes de l'équation par $r^2$ , on a :

\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r=\frac{k}{r^2}

Selon la loi fondamentale de la dynamique (seule la force de gravitation $F_g$ est prise en compte):

\sum\vec{F}=\vec{F_g}=m \vec{\Gamma}

Or l'accélération centripète vaut $\Gamma_c=\frac{V^2}{r}$ , où $V=\frac{2\pi r}{T}$ est la vitesse tangentielle. D'où :

\Gamma_c=\frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2}{r}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r

Puisque, en cas d'une orbite circulaire, la seule accélération est centripète, selon la loi fondamentale de la dynamique, et la 3^e loi de Kepler on a :

F_g = m \Gamma_c = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r =\frac{k m}{r^2}

En posant $k=G M_s$ , avec G, constante de gravitation universelle et $M_s$ , masse du soleil, on obtient :

F_g=G \frac{M_s m}{r^2}

, loi de la gravitation reformulée par Newton.

Cela démontre que l'hypothèse d'une force agissant à distance entre objets massifs telle qu'émise par Newton est compatible avec la 3^e loi de Kepler, au moins pour des orbites circulaires.

Retentissement de la découverte

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Isaac Newton en 1684 utilise pour la première fois cette loi dans le De motu corporum in gyrum (sur le mouvement), mais pour des astres supposés ponctuels. Il découvre que tout en astronomie s'en déduit, et qu'il peut même appliquer sa loi à la pesanteur, unifiant ainsi la mécanique terrestre et la mécanique céleste. Il demandera à Halley un délai pour mettre « tout ce fatras »^{[réf. nécessaire]} au propre : ce qui exigera de sa part un effort colossal. En 1687, paraîtront les Principia, montrant la voie pour la recherche du XVIII^e siècle. Pour la première fois, est mise pleinement en acte la pensée de Galilée : le grand livre de la Nature peut s'expliquer par les mathématiques. Tous ses rivaux (Hooke, Huygens, etc.) sont relégués à l'avant Newton, un peu comme après 1905, on parlera de avant/après Einstein. Pourtant, Newton reprendra à son compte l'aphorisme de Nicole Oresme : « Si j'ai pu voir un peu au-delà, c'est que j'étais porté par des épaules de géants ». Il est clair que la loi en 1/r² est déjà connue de Hooke, Halley^{[réf. nécessaire]}, mais personne ne l'a énoncée ainsi. Newton a surtout été acclamé pour sa reformulation des lois de Kepler, alors que c'est un théorème parmi bien d'autres.

Le temps de réception des travaux de Newton en France et en Allemagne sera très long : presque 30 ans.

Validité de la loi de Newton dans le cadre de la théorie de la relativité

Vers 1900, on sait qu'il reste à expliquer un résidu dans la précession de la trajectoire de la planète Mercure autour du Soleil. Bien qu'il n'ait pas cherché à résoudre cette anomalie, Einstein expliquera ces fameuses 43 secondes d'arc par siècle, en inventant sa théorie de la gravitation appelée relativité générale en 1915.

La loi de Newton n'est qu'une approximation de la gravitation relativiste, valable lorsque (v/c)² << 1 (où v désigne la vitesse relative des corps et c la vitesse de la lumière). Le philosophe des sciences Thomas Samuel Kuhn n'hésite pas à affirmer que la théorie d'Einstein ne peut être acceptée que si l'on tient celle de Newton pour fausse. Selon lui, l'affirmation que la loi de Newton fournit une bonne solution approchée lorsque les vitesses relatives des corps considérés sont petites en comparaison de la vitesse de la lumière est une objection des successeurs des positivistes logiques. Toujours selon lui, la théorie d'Einstein représente un changement majeur de paradigme par rapport à la théorie newtonienne, au même titre que l'astronomie de Copernic a été un changement de paradigme par rapport à l'astronomie de Ptolémée^[6] .

La loi de Newton est incapable de s'appliquer aux trous noirs, ni à la déviation de la lumière par la gravitation, ou autres phénomènes observés au XX^e siècle.

On notera qu'il existe trois autres forces fondamentales en physique :

la force électromagnétique (courants électriques, aimants, etc.),
l'interaction faible,
l'interaction forte (cohésion des noyaux),

ces trois dernières forces fondamentales pouvant être unifiées.

Aspects philosophiques

Un philosophe, Claude Henri de Rouvroy, comte de Saint-Simon, a bâti une théorie philosophique dans les années 1820, selon laquelle Dieu est remplacé par la gravitation universelle.

David Hume voyait dans les Principia le modèle de la science, qu'il voulait appliquer à la philosophie^[7].

Notes et références

↑ Prosper Schroeder, La genèse de la loi de la gravitation universelle et le tentative de sa démonstration à travers le problème des trois corps et la théorie de la Lune de Newton à Euler et Laplace, University of Bamberg,‎ 2006 (lire en ligne), ?
↑ CODATA de 2010., CADATA 2010
↑ Newton eut l'intuition géniale que le mouvement des planètes autour du Soleil, ou le mouvement de la Lune autour de la Terre, était régi par la même loi que celle qui fait tomber les corps (une pomme par exemple) au voisinage de la Terre. Ainsi, la Lune tombe à chaque instant vers la Terre d'une distance qui est exactement celle qu'il faut pour décrire son orbite courbe, compte tenu de la composante de vitesse tangente à sa trajectoire.
↑ Principes mathématiques de la philosophie naturelle D'après la traduction du latin en français par Émilie du Chatelet (1756), p.55, corollaire 6 de la prop.4, et scholie p.56.
↑ Newton et ses contemporains désignaient un corps pesant sous le vocable latin « gravis », ce qui est lourd. C'est de là que nous proviennent les termes «gravitation», « gravité », « gravifique », etc.
↑ Thomas Kuhn, La Structure des révolutions scientifiques, Flammarion, p. 141-142 (première édition en 1962)
↑ Enquête sur l'Entendement Humain, I

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