Conjecture de Kepler

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La conjecture de Kepler est une conjecture (désormais démontrée^[1] en 2014) formulée par le physicien, astronome et mathématicien Johannes Kepler en 1611. Cette conjecture énonce que, pour un empilement de sphères égales, en espace libre, la densité maximale est atteinte pour un empilement cubique à faces centrées. Cette densité vaut environ 74 % : $d = \frac{\pi}{3 \sqrt{2}} \simeq 0,740\,48.$

László Fejes Tóth démontre en 1953 que la conjecture de Kepler pouvait être réduite à un problème à un nombre fini de paramètres^[2].

Empilement compact de 35 sphères.

Preuve par ordinateur

En 1998, Thomas Hales a annoncé avoir démontré cette conjecture. Il réduit celle-ci à un nombre fini, mais élevé, de vérifications, qui ont été effectuées à l'aide de calculs par ordinateur. Les mathématiciens chargés de valider l'article de Hales ont affirmé être « certains à 99 % » que cette démonstration est valide^[3]. Ils y ont consacré beaucoup plus de temps que pour un article habituel de mathématiques, et la publication de l'article de Hales sur le sujet a été acceptée, ce qui indique une confiance certaine dans sa correction. Cependant le fait que de nombreux cas soient vérifiés à l'aide de calcul par ordinateur, et de façon liée, la compréhension réduite des principes généraux qui gouvernent la preuve, font que le doute subsiste qu'une erreur de détail qui n'a pas été repérée puisse affecter l'ensemble de la démonstration^[3] (contrairement à une démonstration mathématique plus usuelle quand elle est soigneusement relue, même si elle est très complexe comme celle du théorème de Fermat-Wiles^[3]).

Pour cette raison, Hales a lancé le projet Flyspeck, visant à établir une preuve formelle de son théorème, qui puisse être validée à l'aide d'un assistant de preuve sur ordinateur, capable de vérifier que les étapes de la démonstration sont logiquement valides. Ce projet réunit des informaticiens et mathématiciens de plusieurs laboratoires.

En 2009, le prix Fulkerson lui a été attribué (conjointement à Samuel P. Ferguson (de), responsable des aspects calculatoires) pour cette démonstration, qui, bien que non encore validée par Flyspeck sous sa forme initiale, était considérée par la communauté mathématique comme complète. Celle-ci est désormais validée^[4].

Le 10 août 2014, l'équipe de Thomas Hales annonce que cette conjecture est désormais formellement démontrée^[1].

Problème voisin

Le problème posé par Kepler se rapproche d'une autre question, surgie en 1690 d'une polémique entre Newton et Gregory : combien de sphères unités peut-on disposer autour d'une sphère centrale de même rayon ? Il est possible d'en disposer 12, mais la question est de savoir s'il est possible d'en disposer 13. Une réponse négative a été apportée en 1953 par Kurt Schütte et Bartel Leendert van der Waerden^[5].

Notes et références

1 2 Sean Bailly, « La conjecture de Kepler formellement démontrée », Pour la science,‎ 26 août 2014 (consulté le 28 octobre 2014).
↑ (de) L. Fejes Tóth, Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Berlin, Springer, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (n^o 65),‎ 1953 (présentation en ligne), lien Math Reviews.
1 2 3 (en) « The Flyspeck Project Fact Sheet ».
↑ (en) « Proof confirmed of 400-year-old fruit-stacking problem », sur New Scientist,‎ 12 août 2014.
↑ Brian Hayes, « Les grappes de sphères collantes », Pour la Science, n^o 427, mai 2013, p. 64-71.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kepler conjecture » (voir la liste des auteurs), dont les références étaient :

(en) Tomaso Aste et Denis Weaire (en), The Pursuit of Perfect Packing, Institute of Physics Publishing, 2000 (ISBN 978-0-7503-0647-8)
(en) Thomas C. Hales, « A Proof of the Kepler Conjecture », Ann. of Math., vol. 162, 2005, p. 1065-1185 [lire en ligne]
(en) Thomas C. Hales, « Cannonballs and honeycombs », Notices Amer. Math. Soc., vol. 47, n^o 4, p. 440-449, [lire en ligne]
« An elementary exposition of the proof of the Kepler conjecture. »
(en) George G. Szpiro (de), Kepler's Conjecture, John Wiley & Sons, 2003 (ISBN 978-0-471-08601-7)

Annexes

Liens externes

(en) Page personnelle de Thomas Hales
(en) Revue de la démonstration de Hales
(en) Article dans American Scientist - Dana Mackenzie
(en) Site web du projet Flyspeck, dont le but est d'établir une preuve formelle de la conjecture de Kepler.
(en) Exemple concret de la conjecture de Kepler

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