Équation différentielle linéaire

Cet article est une ébauche concernant l'analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité.

Une équation différentielle linéaire scalaire se présente comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées, de la forme

a_ny^{(n)}+\ldots+a_2y''+a_1y'+a_0y=b

où $a_0$ , $a_1$ , … $a_n$ , $b$ sont des fonctions numériques continues.

Une équation différentielle linéaire vectorielle aura le même aspect, en remplaçant les $a_i$ par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x et b par une fonction de x à valeurs vectorielles. Une telle équation sera parfois aussi appelée système différentiel linéaire.

L'ordre de l'équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise, n dans l'exemple précédent. Il existe des méthodes générales de résolution pour les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 à coefficients variables ou d'ordre n à coefficients constants.

Généralités sur l'équation différentielle linéaire scalaire

Celle-ci s'écrit, sous sa forme la plus générale :

a_n(x)y^{(n)}+\ldots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x).

Équation homogène

Cette équation, appelée aussi équation sans second membre, s'écrit :

a_n(x)y^{(n)}+\ldots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0.

Si on dispose de n « intégrales » (i.e. : solutions) particulières linéairement indépendantes :

\begin{array}{c} a_n(x)y_1^{(n)}+\ldots+a_2(x)y_1''+a_1(x)y_1'+a_0(x)y_1=0\\ \cdots\\ a_n(x)y_n^{(n)}+\ldots+a_2(x)y_n''+a_1(x)y_n'+a_0(x)y_n=0 \end{array}

en multipliant chaque équation respectivement par les constantes $C_1,\ldots,C_n$ , la fonction

y=C_1 y_1+\ldots+C_n y_n

qui dépend de n constantes arbitraires satisfait l'équation : c'est l'intégrale générale de celle-ci.

Équation non homogène

Si, à cette fonction dépendant de n constantes arbitraires, est ajoutée une intégrale particulière de l'équation complète, la somme des deux satisfait l'équation complète : c'est l'intégrale générale de l'équation non homogène. Une autre méthode, celle de la variation des constantes, fournit directement (lorsqu'elle est praticable) l'intégrale générale.

Cas de l'équation à coefficients constants

L'équation s'écrit alors :

a_ny^{(n)}+\ldots+a_2y''+a_1y'+a_0y=0

En cherchant une solution de la forme $y = e^{rx}\,$ , on obtient l'équation caractéristique :

a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots+a_1r+a_0=0.

Si les $n$ racines sont distinctes, cette équation fait apparaître les $n$ fonctions indépendantes suffisantes pour déterminer toutes les solutions de l'équation homogène. Une racine réelle correspond à une exponentielle tandis qu'une paire de racines complexes conjuguées se traduit par une exponentielle multipliée par une sinusoïde.

Dans le cas de l'équation complète, il ne reste plus qu'à trouver une seule solution de celle-ci. C'est particulièrement simple dans le cas important d'un second membre sinusoïdal ou lorsque celui-ci peut être décomposé en sommes de sinusoïdes (voir Analyse spectrale). Pour d'autres types de seconds membres, la transformation de Laplace fournit un certain nombre de solutions.

Équation différentielle linéaire vectorielle

Écriture générale

Soient I intervalle réel et E espace vectoriel normé. Soient n + 1 fonctions $a 0$ , $a 1$ , … $a n$ continues sur I à valeurs dans ℒ(E) et $b$ une fonction continue sur I à valeurs dans E. L'équation

a_n\cdot y^{(n)}+\ldots+a_2\cdot y''+a_1\cdot y'+a_0\cdot y=b

est appelée équation différentielle linéaire d'ordre n sur I.

Une solution de cette équation est une fonction y de classe Cⁿ de I dans E telle que

a_n(x)(y^{(n)}(x))+\ldots+a_2(x)(y''(x))+a_1(x)(y'(x))+a_0(x)(y(x))=b(x).

Principe de superposition

L'équation homogène E₀ associée à l'équation E_b ci-dessus est :

a_n\cdot z^{(n)}+\ldots+a_2\cdot z''+a_1\cdot z'+a_0\cdot z=0.

Toute combinaison linéaire de solutions, sur un sous-intervalle J de I, de l'équation homogène E₀, est elle aussi solution : l'espace S₀ de ces solutions est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions définies sur J.

Étant donnée une solution y de E_b sur J, les autres sont les fonctions de la forme y + z avec z solution arbitraire de E₀ sur J : l'espace S_b de ces solutions est un espace affine de direction S₀.

Écriture matricielle

Si E est de dimension finie d, en fixant une base de E, l'équation peut s'écrire matriciellement. Soient n + 1 fonctions $A_0$ , $A_1$ , … , $A_n$ continues sur I à valeurs dans l'espace des matrices carrées M_d(ℝ) et B une fonction continue sur I à valeurs dans ℝ^d :

A_nY^{(n)}+\ldots+A_2Y''+A_1Y'+A_0Y=B.

Forme résolue

Sur tout intervalle où $a_n(x)$ est constamment inversible, l'équation se réécrit sous forme résolue (en posant $c_j(x)=-(a_n(x))^{-1}\circ a_j(x)$ et $d(x)=(a_n(x))^{-1}(b(x))$ ):

y^{(n)}=c_{n-1}\cdot y^{(n-1)}+\ldots+c_1\cdot y'+c_0\cdot y+d.

Réduction à l'ordre 1

Toute équation différentielle (linéaire) peut être vue comme une équation (linéaire) d'ordre 1, à condition de modifier l'espace vectoriel en conséquence.

On prend en effet comme nouvel espace vectoriel Eⁿ, comme nouvelle fonction inconnue le vecteur

Y=(y,y',\dots, y^{(n-1)})=(Y_0,\dots, Y_{n-1})

L'équation équivalente vérifiée par les composantes de Y est

\begin{cases}Y'_0=Y_1\\ \dots \\ Y'_{n-2}=Y_{n-1}\\ a_n\cdot Y'_{n-1}=-a_0\cdot Y_0-a_1\cdot Y_1-\ldots a_{n-1}\cdot Y_{n-1}+b\end{cases}\,

qui est bien une équation différentielle d'ordre 1, et qui reste sous forme résolue si l'équation de départ l'était.

Par exemple, l'équation différentielle linéaire d'ordre deux, résolue et autonome

\frac {\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} = y

à valeurs dans ℝ se transforme en équation du premier ordre à valeurs dans ℝ² : la fonction inconnue de la nouvelle équation différentielle est une fonction x ↦ v(x) = (y(x), z(x)) de ℝ dans ℝ² et l'équation s'écrit :

\frac {\mathrm d v}{\mathrm dx} = g(v)

où g est l'endomorphisme de ℝ² défini par g(y, z) = (z, y). Autrement dit :

\begin{cases}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=z\\\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=y\end{cases}

c'est-à-dire que la dérivée de la fonction y est égale à z et la dérivée de z est égale à y, ce qui signifie que la dérivée seconde de y est égale à y. La nouvelle équation est bien équivalente à l'ancienne.

Équation différentielle linéaire d'ordre 1 sous forme résolue

L'équation d'ordre 1 sert de référence pour toute la théorie, puisque les équations d'ordre supérieur peuvent s'y ramener. La forme résolue, ou explicite, permet d'avoir de bons résultats théoriques d'existence et d'unicité.

Écritures

Écriture générale

D'après ce qui précède, une équation différentielle linéaire d'ordre 1 sous forme résolue s'écrit

y'= a\cdot y+b.

Écriture matricielle

Si E est de dimension finie d, en fixant une base de E, l'équation peut s'écrire matriciellement, avec une fonction $A$ continue sur I à valeurs dans l'espace des matrices carrées M_d(ℝ) et B une fonction continue sur I à valeurs dans ℝ^d. L'équation devient

Y'=A Y + B.

Écriture en composantes

L'écriture matricielle prend la forme d'un système

\begin{cases} y'_1&= a_{11} y_1 +\dots + a_{1d}y_d+b_1\\ &\dots \\ y'_d&= a_{d1} y_1 +\dots + a_{dd}y_d+b_d.\end{cases}

Existence et unicité des solutions

Pour identifier complètement une solution de l'équation on peut imposer des conditions initiales, c'est-à-dire la valeur y₀ de y au point x₀. On appelle problème de Cauchy l'ensemble constitué par l'équation différentielle E_b et la condition initiale

\begin{cases} y'=ay+b\\ y(x_0)=y_0.\end{cases}

Le théorème de Cauchy-Lipschitz permet d'affirmer que ce problème de Cauchy admet une solution unique (tandis que les équations du premier ordre sous forme générale ay' + by = c – non « résolue » – ne bénéficient pas de ce théorème). De plus, par rapport aux équations différentielles générales, la particularité des équations linéaires est que les fonctions solutions sont définies sur I entier.

Autrement dit, si S_b désigne l'espace des solutions sur I de l'équation E_b, l'application valeur en x₀ :

\begin{matrix} S_b&\longrightarrow & E\\ y&\longmapsto & y(x_0)\end{matrix}

est bijective.

En particulier pour b = 0, c'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels et l'espace vectoriel S₀ est de même dimension que E.

Si E est de dimension finie d, résoudre l'équation homogène revient donc à trouver d solutions y₁, ..., y_d linéairement indépendantes, qui formeront alors une base de S₀. Une telle base est appelée système fondamental de solutions. L'isomorphisme de Cauchy-Lipschitz a une conséquence surprenante : si en un point x, les vecteurs y₁(x), … , y_d(x) sont indépendants, alors en tout autre point x', les vecteurs y₁(x'), ..., y_d(x') le sont également.

Pour tester si d solutions sont linéairement indépendantes, il suffit donc de vérifier si d vecteurs de E sont indépendants. On calcule donc un déterminant adapté : le wronskien.

Utilisations de l'exponentielle pour la résolution systématique

L'équation différentielle la plus simple est y' = b, qui consiste en un calcul de primitive. Sous certaines hypothèses, il est possible de se ramener à cette forme par changement de fonction. La résolution explicite des équations différentielles par des formules de quadrature, c'est-à-dire impliquant les fonctions usuelles et la primitivation, est cependant rarement possible.

Les deux cas particuliers qui suivent n'en ont que plus d'importance.

Équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1

Article détaillé : équation différentielle linéaire d'ordre un.

On considère l'équation y' = ay + b dans le cas où E est le corps des réels ou des complexes. Soit A une primitive de la fonction a. Alors le changement de fonction

z(x)=e^{-A(x)} y(x)

permet de ramener l'équation différentielle à un problème de calcul de primitive :

\left[ \forall x \in I, y'(x)=a(x)y(x)+b(x)\right]\Leftrightarrow \left[\forall x \in I, \, z'(x)=e^{-A(x)} b(x)\right].

Équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants

L'équation considérée est cette fois l'équation vectorielle y' = ay + b, mais avec l'hypothèse que a est indépendant de x, d'où l'expression coefficients constants quand on considère le système associé. Le vecteur b, lui peut être variable.

En faisant appel à la notion d'exponentielle d'endomorphisme, le changement de fonction

z(x)={\rm e}^{-xa} (y(x))

permet de ramener, là encore, l'équation différentielle à un problème de calcul de primitive

\left[ \forall x \in I, y'(x)=a(y(x))+b(x)\right]\Leftrightarrow \left[\forall x \in I, \, z'(x)={\rm e}^{-xa} (b(x))\right].

(En particulier dans le cas homogène, c'est-à-dire si b = 0, la solution générale est z = constante donc y(x) = e^xa(y₀).)

Pour résoudre effectivement une telle équation, il est donc nécessaire, outre la primitivation, de faire un calcul d'exponentielle d'endomorphisme, ce qui fait intervenir les techniques de réduction.

Cas général : résolvante

Quand on revient à l'équation vectorielle générale y' = ay + b, il est tentant de reprendre la formule de changement de fonction (A désignant une primitive de a)

z(x)=e^{-A(x)} y(x)

puisqu'elle fonctionne dans le cas scalaire.

Malheureusement, la formule de dérivation des exponentielles de matrices ne s'étend pas en général à ce cas-là. Le seul point sur lequel achoppe la démonstration est la non-commutation de A(x) et de A'(x), de sorte que si cette condition est réalisée pour tout x, la méthode fonctionne et on aboutit au même résultat que pour une équation scalaire. Mais cela ne procure pas de méthode générale.

Il existe toutefois une solution formelle au problème : on note R(x, x₀) la solution globale, fournie par le théorème de Cauchy-Lipschitz, du problème de Cauchy à valeurs dans ℒ(E) :

\begin{cases}r'(x)=a(x)\circ r(x)\\r(x_0)=\mathrm{Id}_E.\end{cases}

Autrement dit, la fonction de deux variables associée à l'application continue a de I dans ℒ(E) est l'application, appelée résolvante^[1] :

R:I\times I\to\mathcal L(E)

caractérisée par :

\forall x,y\in I,\quad R(x,x)=\mathrm{Id}_E\quad\text{et}\quad\frac{\partial}{\partial x}R(x,y)=a(x)\circ R(x,y).

Elle fournit de ce fait la solution globale de tout problème de Cauchy à valeurs dans E de la forme

\begin{cases} y'=a\cdot y\\ y(x_0)=y_0\end{cases}

par

y(x)=R(x,x_0)\cdot y_0.

Ceci est une autre caractérisation de R, dont il résulte que

\forall x,y,z\in I,\quad R(x,y)\circ R(y,z)=R(x,z),

en particulier chaque R(x, y) est inversible et

R(x,y)^{-1}=R(y,x).

On peut d'ailleurs construire R directement sans faire appel au théorème de Cauchy-Lipschitz, par une formule « explicite » bien que peu utile en pratique :

R(x,y)=\mathrm{Id}_E+\sum_{n\ge 1}\int_{y\le x_1\le\ldots\le x_n\le x}a(x_n)\circ\ldots\circ a(x_1)\mathrm dx_1\ldots\mathrm dx_n.

Dans le cas d'une équation à coefficients constants, la résolvante est simplement

R(x,y)={\rm e}^{(x-y)a}.

Détails d'une construction directe de la résolvante

Soient K un intervalle compact de I et M(x, ξ) une fonction continue de K × K dans ℒ(E). On définit l'opérateur ${\mathcal L}$ de la manière suivante : ${\mathcal L}(M)(x,\xi) = \int_{\xi}^x M(x,t)\circ a(t)\mathrm dt.$ Cet opérateur est linéaire. On définit maintenant la fonction à valeurs dans ℒ(E) $R(x,\xi) = \sum_{n \ge 0} {\mathcal L}^n(\mathrm{Id}_E).$ (Cette série est normalement convergente car chaque terme est borné par $\|a\|^n (x - \xi)^n / n!$ et donc cette définition de R a un sens.) On remarque que

{\partial\over\partial\xi}{\mathcal L}(M)(x,\xi)=-M(x,\xi)\circ a(\xi)\quad\text{donc}\quad{\partial \over \partial \xi}R(x,\xi)=-R(x,\xi)\circ a(\xi)

et on montre par ailleurs (en explicitant les ${\mathcal L}^n(\mathrm{Id}_E)$ ) que pour tout entier naturel n,

{\partial\over\partial x}{\mathcal L}^{n+1}(\mathrm{Id}_E)(x,\xi)=a(x)\circ{\mathcal L}^n(\mathrm{Id}_E)(x,\xi)\quad\text{donc}\quad{\partial\over\partial x}R(x,\xi)=a(x)\circ R(x,\xi).

En appliquant les formules ci-dessus, on montre que $R(x,y)\circ R(y,z)$ est indépendante de y donc égale à $R(x,x)\circ R(x,z)=\mathrm{Id}_E\circ R(x,z)=R(x,z).$

La résolvante fournit non seulement les solutions de l'équation homogène y' = ay mais permet encore de ramener l'équation générale y' = ay + b à un calcul de primitive par changement de fonction : en posant

z(x)=R(x_0,x)\cdot y(x)

on obtient en effet

y(x)=R(x,x_0)\cdot z(x)

\left[y(x_0)=y_0\text{ et }y'(x)=a(x)\cdot y(x)+b(x)\right]\Leftrightarrow\left[z(x_0)=y_0\text{ et }z'(x)=R(x_0,x)\cdot b(x)\right].

Méthode variationnelle ou des variations de constantes

On considère un système d'équations différentielles quelconque du type y' = f(x, y). On considère une solution approchée $y_0$ . On définit alors $y = y_0 + \delta y$ . On résout alors :

(y_0 + \delta y)' = f(x,y_0 + \delta y) \simeq f(x,y_0) + f'_y(x,y_0) \delta y.

On obtient alors l'équation affine suivante:

\delta y' = f'_y(x,y_0) \delta y + f(x,y_0) - y'_0.

La matrice $f'_y(x,y_0)$ dépend de x et on utilise la méthode décrite ci-dessus. La convergence est quadratique et donc l'équation différentielle peut être résolue de manière exacte généralement en 3 à 4 itérations.

Note et référence

↑ Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions], p. 210-211

Voir aussi

Système mécanique linéaire

Portail de l’analyse

This article is issued from Wikipédia - version of the Monday, September 21, 2015. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.