Énergie mécanique

L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique. C'est une quantité conservée lorsqu'aucune force extérieure ou force non conservative (le frottement ou encore un choc) n'intervient dans le système et s'avère, pour cela, pratique à utiliser.

L'énergie mécanique n'est pas un invariant galiléen et dépend donc du référentiel choisi.

Expression

L'énergie mécanique s'exprime généralement :

E_m = E_c + E_p

où :

$E_m$ est l'énergie mécanique ;
$E_c$ est l'énergie cinétique (formule pour un solide en translation : 1/2 mv² avec m la masse du solide (en kg) et v sa vitesse (en mètres par seconde)). Exemple : 1/2 × 50 (kg) × 10² = 2500 J ;
$E_p$ est l'énergie potentielle ou l'énergie de position (formule de l'énergie potentielle de pesanteur : m × g × h avec m la masse du solide (en kg), g l'accélération de la pesanteur (9,81 m⋅s^-2 sur Terre) et h la différence d'altitude en mètre (altitude de départ - altitude d'arrivée)). Exemple : 50 (kg) × 9,81 (m/s²) × 10 (mètres) = 4905 J.

Solide ponctuel

Pour un solide ponctuel M l'énergie potentielle mécanique est donnée par sa position et l'énergie cinétique par sa vitesse. On a donc

E_m = \frac{1}{2} mv^2 + mV(M)

où :

$m$ est la masse du solide
$v$ est la vitesse du centre de gravité ;
$V$ est le potentiel au niveau du point $M$

Solide étendu non déformable

Pour un solide indéformable non ponctuel, il convient d'ajouter l'énergie cinétique de rotation. L'énergie potentielle est donnée, dans le cas d'un potentiel gravitationnel, par la position du centre de gravité G.

E_m = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} J \Omega^2 + mV(G)

où, toutes notations égales par ailleurs

$J$ est le moment d'inertie du solide par rapport à son axe de rotation ;
$\Omega$ est sa vitesse angulaire de rotation.
$V$ est le potentiel gravitationnel dans lequel se déplace la masse.

Solide déformable

Pour un solide déformable, interviennent des termes de déformation (tension, torsion, contraction) tant dans l'énergie cinétique que l'énergie potentielle mécanique.

Théorème de l'énergie mécanique

Énoncé

Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie mécanique est égale à la somme des travaux W des forces non conservatives extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide considéré :

\Delta E_{m_{AB}}=E_{m_B}-E_{m_A}=\sum {W_{F_{_{nc}ext / int}}^{AB}}

où E_mA et E_mB sont respectivement l’énergie mécanique du solide aux points A et B.

Démonstration

En dérivant l'expression de l'énergie mécanique on obtient :

dE_m = dE_c + dE_p

Or d'après le Théorème de l'énergie cinétique, on a :

dE_c= \delta W(F_c)+ \delta W(F_{nc})

avec $\delta W(F_c)$ le travail des forces conservatives et $\delta W(F_{nc})$ le travail des forces non conservatives. On a aussi

dE_p=-\delta W(F_c)

D'où le résultat :

dE_m = \delta W(F_{nc})

On a ainsi le théorème de la puissance mécanique, la dérivée par rapport au temps de l'énergie mécanique est égale à la puissance des forces non conservatives :

\frac {dE_m}{dt} = P_{nc}

Ainsi, l’énergie mécanique d'un système soumis à des forces conservatives, c'est-à-dire dérivant d'un potentiel, est conservée.

Dans le cas d’un corps en chute libre soumis exclusivement à un champ de pesanteur uniforme et éventuellement à une vitesse initiale et des forces ne travaillant pas, si l’on pose $m$ la masse du corps en kilogrammes, $v_1$ sa vitesse à la date $t_1$ en mètres par seconde, $h_1$ sa hauteur par rapport à la référence des énergies potentielles de pesanteur et $g$ la valeur du champ de pesanteur en mètres par seconde carrée, son énergie potentielle de pesanteur $E_{pp_1}$ exprimée en joules vaut :

E_{pp_1} = m\cdot g\cdot h_1

Et son énergie cinétique $E_{c_1}$ en joules :

E_{c_1} = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2

Si l’on suppose que l’objet se retrouve en chute libre pour une durée de $t$ secondes, en n’étant soumis à aucune force extérieure travaillant (frottements…), sa vitesse à la date $t_2$ vaudra en mètres par seconde $v_2 = v_1 + g\cdot t$ . L’objet aura alors parcouru une distance $d$ de $v_1\cdot t + \dfrac12\cdot g\cdot t^2$ mètres. Sa hauteur par rapport à la référence sera donc (en mètres) $h_2 = h_1 - d = h_1 - v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2$ . On en déduit donc que son énergie potentielle de pesanteur vaut en joules :

E_{pp_2} = m\cdot g\cdot h_2 = m\cdot g\cdot \left(h_1 - v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right)

Et son énergie cinétique en joules :

E_{c_2} = \dfrac12\cdot m\cdot v_2^2 = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1+g\cdot t\right)^2

Soient $E_{m_1}$ et $E_{m_2}$ l’énergie mécanique du corps respectivement à l’instant $t_1$ et à l’instant $t_2$ en joules ; et $\Delta E_m$ le gain d’énergie mécanique entre $t_1$ et $t_2$ . On a :

\Delta E_m = E_{m_2} - E_{m_1} = E_{c_2} + E_{pp_2} - E_{c_1} - E_{pp_1}

En remplaçant, on trouve :

\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1+ g\cdot t\right)^2 + m\cdot g\cdot \left(h_1-v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right)-\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2-m\cdot g\cdot h_1

On développe :

\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot \left(v_1^2 + 2\cdot v_1\cdot g\cdot t+ g^2\cdot t^2\right) + m\cdot g\cdot \left(h_1-v_1\cdot t - \dfrac12\cdot g\cdot t^2\right) -\dfrac12\cdot m\cdot v^2-m\cdot g\cdot h_1

\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 + m\cdot v_1\cdot g\cdot t + \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 + m\cdot g \cdot h_1 - m\cdot g\cdot v_1\cdot t - \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2-\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2-m\cdot g\cdot h_1

Et si l’on remet les termes dans l’ordre :

\Delta E_m = \dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 -\dfrac12\cdot m\cdot v_1^2 + m\cdot v_1\cdot g\cdot t - m\cdot v_1\cdot g\cdot t + \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 - \dfrac12\cdot m\cdot g^2\cdot t^2 + m\cdot g \cdot h_1 -m\cdot g\cdot h_1

Soit $\Delta E_m = 0$ . Il n’y a pas de variation de l’énergie mécanique ; l’énergie mécanique reste donc la même à tout moment de la chute.

Voir aussi

Énergie ~ Énergie cinétique ~ Énergie potentielle mécanique
Force conservative

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