Cungjuunt

Da Wikipedia.

Quest articol chì l'è assee ben faa e l'è mia de trà via

Purtaal:matemàtica

Artícuj relazziunaa a matemàtica

Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

In la teuría naïve di cungjuunt, ul puunt da partenza a l’è la nuzziú da cungjuunt, descrivüü cuma una collezziú d’ugett cjamaa elemeent u puunt. Plüü precisament, ul creatuur da chesta teuría, ul matemàtich Georg Cantor al definisseva i cungjuunt cuma « una mültitüda ch’a la pöö vess imaginada cuma un tütt »

Remarca : in la teuría assiumàtega di cungjuunt, ul puunt da partenza al è plütòost la nuzziú d’apartenenza, ch’al è alura primitiva, e sa la definiss dunca mia. La nuzziú da cungjuunt la gh'a alura un statut plüü flou. Si in la teuría ZF (Zermelo-Fränkel), a l’è apó una nuzziú primitiva, gja che töcc i ugett primitiif da chesta teuría i pöö vess noma di cungjuunt, par cuntra, in la teuría NGB (Neumann - Gödel - Bernais) par esempi, i ugett primitiif i è da le classe, e i cungjuunt i è definii là cuma le classe par le quale al esiist da le classe i cuntegniint.

Cuntegnüü

1 Cungjuunt, elemeent e apartenenza
2 Igualtaa da düü cungjuunt
3 Singletú e para mia urdenaa
4 Definizziú d'un cungjuunt in estensiú
5 Definizziú d’un cungjuunt in cumprensiú
6 Vidée apó

[Mudifica] Cungjuunt, elemeent e apartenenza

Un cungjuunt al è désignaa in generaal par una lètera latina majüscula, par esempi ul cungjuunt « E ». Al pöö vess vidüü cuma un tiip da sach virtüaal incumpassaant i söö elemeent, vargot ch’i mudelisa bé i diagraam da Venn.

I elemeent i pöö vess da qual-sa-vöör natüra: nümar, geent, òolt cungjuunt... Par esempi, lündesdí al è un elemeent dal cungjuunt di dí da la semana, e 4 al è un elemeent dal cungjuunt di nümar pari. Cheest darée esempi al mustra che i cungjuunt i pöö vess infinii (i.e. iga un nümar infinii d’elemeent).

Ul raport intra un cungjuunt, nutaa par esempi A, e ü qual-sa-vöör dij söö elemeent, nutaa par esempi x, sa l scriif :

$x\in A$

Cheest enunziaa al pöö sa lesí :

« x al partegn a A »,
« x al è elemeent da A »,
« x al è in A »,
« A al gh'a par elemeent x »,
u « A al cuntegn x ».

Ul símbul « : $\in$ », intrudüii par Peano in 1888, al deriva da la lètera greca epsilon, « ε ».

Una varianta da cheest símbul la descriif la mia-apartenenza d’un uget a un cungjuunt :

« z $\ _\not\in$ A » al signifía « z al partegn mia a A ».

[Mudifica] Igualtaa da düü cungjuunt

A definissemm l’igualtaa da düü cungjuunt A e B, nutada « A = B », afirmaant che düü cungjuunt i è iguaj cura che i gh’a esatameent i istess elemeent :

$( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,$

indúe « $\Leftrightarrow$ » al designa l'equivalenza lògica (ssi). I düü cungjuunt i è alura idéntich, i.e. tütt vargot ch’al pöö vess dii da ü al pöö vess diis dal òolt (vidé Assioma d'estensiunalitaa). Si a representemm i düü cungjuunt cuma di sach étichetaa ognidü pal sò nom , si i è iguaj, alura al sa trata da fatt da noma ü e istess sach cun dò etichete. In sentüü inveers, i prupietaa d’un cungjuunt i depeent mia da la natüra u da la furma dal sach, noma dal sò cuntegnüü.

Inscí un cungjuunt al è cumpletameent determinaa paj söö elemeent. Al pöö al vess apó par ul dàtum d’una prupietaa caraterística da cheest cungjuunt. Par esempi, ul cungjuunt furmaa paj elemeent 2, 3, e 5 al è iguaal al cungjuunt da töcc i nümar primm inferiuur a 6. A emm inscí dò manere da definí un cungjuunt :

dá la lista dij söö elemeent (analítica)
dá una prupietaa caratéristica (sintética).

Scumenzemm pal caas ul plüü sémplis.

[Mudifica] Singletú e para mia urdenaa

Par cada elemeent a, sa l pöö definí un cungjuunt S da che a al è l’ünich elemeent :

$\forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \,$

L’esistenza da cheest cungjuunt al è garantida par l’ Assioma dal para, La suva ünicitaa par cada a par l’ Assioma d'estensiunalitaa. Al è cjamaa singletú e al è nutaa « { a } » ( lesí « singletú a » ).

Par cada elemeent a e cada elemeent b, sa l pöö definí un cungjuunt P da che a e b i è i ünich elemeent :

$\forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,$

indúe $\vee$ al designa ul U lògich inclüsiif. L'esistenza da cheest cungjuunt al è garantida par l' Assioma dal para, La suva ünicitaa par a e b a l’è dada par l’ Assioma d'estensiunalitaa. Al è nutaa « { a, b } » ( lesí « cungjuunt a, b » ).

si a e b i è iguaj, a cunstatemm che, dapress la definizziú , { a, a } al è mia òolt che ul singletú { a } ;
si a e b i è distiint, { a, b } al è cjamaa para mia urdenaa u cungjuunt da a e da b.

Par esempi, { 1, 2 } representa ul cungjuunt da che i elemeent i è 1 e 2 (vidé l’artícul : « Para »).

Gh’arem büsögn int un òolt artícul dij düü lem d’igualtaa sigütaant :

SP1 : düü singletú i è iguaj si e noma si i gh'a i istess elemeent :

$\forall\ a , \forall\ b , \, ( \{ a \} = \{ b \} ) \Leftrightarrow ( a = b ) \,$

SP2 : düü para mia urdenaa (ch’i pöö vess di singletú) { a ₁ , a ₂ } e { b ₁ , b ₂ } i è iguaj ssi a ₁ al è iguaal a b ₁ e a ₂ a b ₂ , u si a ₁ al è iguaal a b ₂ e a ₂ a b ₁ :

$\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \,$

$( \{ a_1 , a_2 \} = \{ b_1 , b_2 \} ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,$

[Mudifica] Definizziú d'un cungjuunt in estensiú

La nutazziú precedenta intra acolade la pöö vess generalisada. Ul cungjuunt al è alura definii in estensiú. Par esempi, ul cungjuunt di dí da la semana al pöö vess representaa par { lündesdí, mardí, mercurdí, gjöbia, vendredí, sàbet, duménega }. L'esistenza dal cungjuunt inscí definii a l’è garantida paj assiòom da la para e da la reüniú, e la suva ünicitaa, par una lista d’elemeent dada, par chel d’estensiunalitaa.

Nutemm i puunt sigütaant :

I elemeent d’un cungjuunt i è mia ubligaa a iga un puunt cumü : par esempi, sa l pöö créá ul cungjuunt {1, ul gat da la vesina, la parola « anticustitüzziunaal », Georg Cantor, ul 29 fevrée 2000, la planeta Maars }, malgraa al sémbres mia d’un graant interess pràtegh...

L’úrden di elemeent al è senza impurtanza; si sa l retöö l’esempi da la fí da la sezziú precedenta, { 1, 2 } = { 2, 1 }.

La repetizziú d’elemeent intra i acolade la mudífega mia ul cungjuunt :

sémpar cul istess esempi, { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 } = { 1, 2 }.

Par definí in estensiú un cungjuunt da che ul « nümar » d’elemeent al è « infinii », sa l pöö scriif vargü elemeent da cheest cungjuunt sigütaa par dij puunt da süspensiú. Par esempi, ul cungjuunt di intreegh naturaj sa l definiss par : $\ _\mathbb N$ = { 0, 1, 2, 3, ...}.
I puunt da suspensiú i pöö apó vess druvaa par scürtá la scritüra da la lista di elemeent da vargü cungjuunt « finii ». Par esempi ul cungjuunt { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 } sa l scriif plüü semplismeent { 1, 3, 5, ..., 21 }.
Un abüüs da nutazziú al permet da definí un cungjuunt plazzaant intra acolade la natüra di ugett ch’i ga partegn. Par esempi la nutazziú {mà} al designa ul cungjuunt da töte le mà.
Un esempi límit da chesta nutazziú a l’è « { } », che vargü al dröva par designá ul cungjuunt vöj.

[Mudifica] Definizziú d’un cungjuunt in cumprensiú

Sa pöö apó definí un cungjuunt $F$ a partí d'un cungjuunt $E$ e d'una prupietaa $P$ caraterísteghe, i.e. tale che l’apartenenza a $F$ la síes equivalenta a la vérificazziú da chesta prupietaa. In nutazziú simbòlica :

$\forall E, \forall\ P , \exists\ F, \forall\ x , x \in F \Leftrightarrow (x \in E \land P(x))$

Ul cungjuunt $F$ al è nutaa $\{ x \in E \;|\; P(x)\}$ ( lesí « ul cungjuunt di $x\$ da E taj che la cundizziú $P(x)\$ la síes vera » ).

Par esempi :

$\{ z \in \mathbb C \;|\; z = \bar z \}$ al designa ul cungjuunt di nümar reaj $\mathbb{R}$ .
$\{M\in \mathcal M_n(\mathbb K) \;|\; {}^tM= M\}$ al designa ul cungjuunt di matriiss simétriche.
$\{x \in \mathbb Z \;|\; x \;\rm{pair}\;\}$ al è ul cungjuunt da töcc i intreegh pari

Ul cungjuunt al è alura dii « definii in cumprensiú ». La nutazziú curespundenta a l’è cjamada custrütuur da cungjuunt' íntal cunteest da la programazziú funziunala.

Al è essentiaal da definí $F$ a partí d'un cungjuunt $E$ pre·esisteent. In efett, noma la definizziú $\{x \;|\; P(x)\}$ la garantiss mia che l'uget inscí definii al síes un cungjuunt. Un cuntra-esempi céleber al è chel dal « cungjuunt da töcc i cungjuunt ch’i cuntegn mia sí istess» ( vidé ul paràgraf « Paradoss da Russell » in l’artícul « teuría naïve di cungjuunt » ).

Una nutazziú anàluga la esiist íntal schéma d'assiòom da remplazzameent :

$\{F(x)\;|\;x \in A\}$ al designa ul cungjuunt da töcc i uget utegnüü metteent i mémbar dal cungjuunt $A$ in la fórmüla $F$ . Inscí, prulungaant l’esempi precedeent, $\{2x\;|\;x\in \mathbb Z\}$ al è amò ul cungjuunt da töcc i intreegh pari. Cheest darée esempi sa l gjüstífega da fatt par cumprensiú. I "veer" druvameent dal schema da remplazzameent i è assée tèg&midot;nich.