Spettralizzazione dell'identità
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In uno spazio di Hilbert definito dalla base di vettori normalizzati |k> (notazione di dirac) possiamo sempre definire l'identità come la somma dei vettori
| I = | ∑ | | k > < k | |
| k |
La somma è sempre intesa su tutti i |k> ricordiamo vale
| ∑ | < k | k > = 1 |
| k |
si dimostra facilmente poiché se prendiamo il vettore |k> possiamo scrivere
| | k > = I | k > = | ∑ | | j > < j | | k > = | ∑ | | k > < j | k > = | ∑ | < j | k > | k > = | ∑ | δ(j − k) | k > = | k > |
| j | j | j | j |
Tra primo e secondo membro applichiamo l'operatore identità che per definizione non muta l'uguaglianza; nel terzo membro abbiamo scritto l'operatore identità nella sua forma estesa come da definizione, da notare che l'operazione di somma va fatta su tutto lo spazio e quindi dobbiamo usare un indice diverso da quello per definire il vettore stesso. A questo punto (quarto membro) visto che il prodotto interno <j|k> è un numero possiamo spostarlo (per mettere meglio in evidenza come l'operazione che stiamo facendo). Poiché è sempre possibile scegliere una serie di vettori per cui |k> è un vettore della base, allora di tutti i |j> solo quello che è |k> mi darà il prodotto scalare uguale ad uno; tutti gli altri saranno ortogonali e questo spiega la penultima uguaglianza. Poiché per ipotesi i vettori sono normalizzati ho riottenuto il vettore a primo membro.
