Frazione (matematica)

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Una torta divisa in quattro quarti. Ogni quarto è espresso numericamente come 1⁄4. Due quarti sono equivalenti ad una metà 1⁄2 della torta, cioè 2 x 1⁄4 = 1⁄2.

Una torta divisa in quattro quarti. Ogni quarto è espresso numericamente come ¹⁄₄. Due quarti sono equivalenti ad una metà ¹⁄₂ della torta, cioè 2 x ¹⁄₄ = ¹⁄₂.

Secondo la definizione classica, propria dell'aritmetica, una frazione è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione. Ad esempio, se si taglia una torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di torta (rappresentata con ¹⁄₄); due quarti è mezza torta, e otto quarti formano due torte.
In termini più generali, si indica con il nome di frazione ogni generico membro dell'insieme dei numeri razionali.

Indice

1 Nomenclatura
- 1.1 Tipi particolari di frazioni
- 1.2 Altri tipi di frazioni
2 Frazioni e numeri razionali
3 Confronto
4 Moltiplicazione e divisione
5 Addizione e sottrazione
6 Commutatività
7 Frazioni e sistema numerico decimale
8 Generalizzazioni
9 Voci correlate
10 Collegamenti esterni

[modifica] Nomenclatura

Matematicamente, una frazione è un quoziente di numeri interi, come ³⁄₄.

Nell'esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come ¹⁄₄ il numero in basso, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e il numero in alto, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso. I due termini hanno un'origine dal latino. Numeratore ha la stessa radice di enumerare, vale a dire "contare"; quindi indica quante parti frazionali per così dire "minimali" abbiamo nella frazione. Denominatore deriva ovviamente da denominare, cioè dare un nome; il nome è quello del tipo di parti che sono state fatte (metà, terzi, quarti, ...).

La parte superiore della frazione è detta numeratore; la parte inferiore è detta denominatore e deve essere diverso da zero. La linea che separa numeratore e denominatore è detta linea di frazione e può essere orizzontale oppure inclinata.

[modifica] Tipi particolari di frazioni

Una frazione può essere:

ridotta ai minimi termini – o irriducibile – se il numeratore e il denominatore sono numeri primi fra loro (cioè il loro M.C.D. è 1);
propria se il numeratore è minore del denominatore;
impropria se il numeratore è maggiore del denominatore;
apparente se il numeratore è multiplo o uguale al denominatore;
unitaria se ha numeratore 1;
decimale se il denominatore è una potenza di 10;
diadica se il denominatore è una potenza di due.

Inoltre una frazione egizia è la scrittura di un numero razionale come somma di frazioni unitarie.

[modifica] Altri tipi di frazioni

Il termine "frazione" è usato per descrivere anche altri oggetti matematici. Nelle scuole si può ad esempio sentire parlare di

frazione mista: una frazione scritta come un intero più una frazione propria.
frazione composta: una frazione dove numeratore o denominatore (oppure entrambi) contengono delle frazioni.

[modifica] Frazioni e numeri razionali

Per approfondire, vedi la voce numero razionale.

Una frazione definisce sempre un numero razionale. Due frazioni diverse possono però definire lo stesso numero, ad esempio

$\frac 9 6 = \frac 3 2 = \frac 6 4$

Due frazioni che rappresentano lo stesso numero sono dette equivalenti. Ogni numero razionale può essere espresso unicamente tramite una frazione ridotta ai minimi termini

$\frac p q$

e ogni altra frazione che esprime tale numero razionale è del tipo

$\frac {np}{nq}$

dove $n$ è un numero intero. Ogni frazione è quindi equivalente a infinite altre frazioni. L’insieme delle infinite frazioni equivalenti a una frazione data costituisce una classe di equivalenza.

[modifica] Confronto

Confronto tra frazioni

Si possono confrontare tra di loro numeri razionali sia nella loro forma di frazione sia nella forma di numero decimale.

Frazioni con lo stesso denominatore. Essendo parti uguali della medesima suddivisione di un intero è maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore (più parti uguali prese in considerazione).

Frazioni con lo stesso numeratore. Essendo prese in considerazione, in questo caso, le medesime parti uguali, suddivisione di un intero, sarà maggiore la frazione che ha il denominatore minore (a parità di parti sicuramente risultano parti maggiori se la divisione è stata fatta in minor parti uguali).

Frazioni con numeratore e denominatore diversi. Un confronto tra due frazioni potrà essere immediato se si confronta una frazione propria (minori di 1) e una impropria (maggiori di 1).

Negli altri casi e dovendo confrontare più frazioni, si conviene ridurle tutte al medesimo denominatore, fare cioè riferimento alle medesime parti uguali: dovendo confrontare $a / b$ e $c / d$ , si convertono le frazioni in $a d / b d$ e $b c / b d$ , dove il comune denominatore $b d$ è il prodotto dei denominatori da confrontare; si confrontano poi i numeratori tra loro: gli interi $a d$ e $b c$ .

Per lavorare con numeri più piccoli, può essere utile usare, invece del prodotto dei denominatori, il minimo comune multiplo dei denominatori (m.c.m.) e trasformare adeguatamente le frazioni (il m.c.d diviene denominatore della frazione e il numeratore è dato dalla divisione del denominatore per il m.c.d., moltiplicando tale risultato parziale per il numeratore). A questo punto il confronto è ricondotto al caso di frazioni con lo stesso denominatore.

[modifica] Moltiplicazione e divisione

Le operazioni più semplici da compiere con le frazioni sono la moltiplicazione e la divisione. Ecco come vengono effettuate tali operazioni.

Tornando all'esempio della torta, se abbiamo tre persone che ottengono ciascuna un quarto della torta finiamo col distribuirne tre quarti. Numericamente, possiamo scrivere:

$3 \times {1 \over 4} = {3 \over 4}$

Facendo un altro esempio, supponiamo che cinque persone lavorino tre ore al giorno su un progetto, e la loro giornata lavorativa sia di sette ore. In totale, avranno lavorato per 15 ore, cioè 15 settimi di giorno. Dato che 7 settimi di giorno sono un giorno intero, in totale avranno lavorato per 2 giorni e un settimo: numericamente,

$5 \times {3 \over 7} = {15 \over 7} = 2+{1 \over 7}$

Riprendendo la nostra torta, se ne abbiamo preso un quarto e di questa vogliamo prenderne un terzo, ne otterremo un dodicesimo. Infatti facciamo tre parti uguali della nostra fetta e ne prendiamo una: ma se avessimo diviso in tre parti tutte e quattro le fette iniziali saremmo arrivati a quattro volte tre fette, cioè 12 fette. In altre parole, un terzo di un quarto (o "un terzo di volte un quarto") è un dodicesimo. Numericamente abbiamo :

${1 \over 3} \times {1 \over 4} = {1 \over 12}$

Come secondo esempio, supponiamo che i nostri cinque tizi abbiano fatto un lavoro che in totale equivale a tre ore di una giornata lavorativa di sette ore. Ciascuno di loro - ammesso che abbiano lavorato con la stessa lena! - ha fatto un quinto del totale, quindi hanno lavorato per un quinto di tre settimi di una giornata. Numericamente,

${1 \over 5} \times {3 \over 7} = {3 \over 35}$

In pratica, si può notare come per moltiplicare due frazioni possiamo semplicemente moltiplicare i due numeratori tra loro, e i due denominatori tra loro, e usare i risultati come rispettivamente numeratore e denominatore del prodotto. Ad esempio:

${5 \over 6} \times {7 \over 8} = {5 \times 7 \over 6 \times 8} = {35 \over 48}$

o algebricamente

${a \over b} \times {c \over d} = {ac \over bd}$

È possibile che il numeratore di una frazione e il denominatore dell'altra abbiano un fattore comune: in questo caso è possibile (prima o dopo avere eseguito i due prodotti) semplificare il risultato, dividendo entrambi i valori per il loro massimo comun divisore e riducendo così la frazione "ai minimi termini". Ad esempio,

${5 \over 6} \times {9 \over 20} = {1 \over 6} \times {9 \over 4} = {1 \over 2} \times {3 \over 4} = {3 \over 8}$

Se una o entrambe le frazioni da moltiplicare sono improprie, è più agevole convertire la frazione impropria in una propria. Per esempio:

$3 \times 2{3 \over 4} = 3 \times \left ({{8 \over 4} + {3 \over 4}} \right ) = 3 \times {11 \over 4} = {33 \over 4} = 8 + {1 \over 4}$

Il sistema più semplice di dividere due frazioni tra di loro è moltiplicare la prima frazione per l'inverso della seconda. Nel caso più semplice di divisione di una frazione per un intero, avremmo così

${5 \over 6} : 4 = {5 \over 6} \times {1 \over 4 } = {5 \over 24}$

[modifica] Addizione e sottrazione

La regola per l'addizione (o per la sottrazione) di due frazioni è più complicata; anche qua può essere utile tornare all'esempio della torta per ricavare la regola generale. Se due torte uguali sono tagliate rispettivamente in quattro e cinque parti e io prendo una fetta di ciascuna, quanta parte di torta ho? Immaginiamo di dividere ciascuna fetta della prima torta in altre cinque parti uguali, e ciascuna fetta della seconda torta in quattro parti uguali. A questo punto ho diviso entrambe le torte in $5 \times 4 = 20$ parti; di queste ne ho cinque dalla prima torta e quattro dalla seconda, per un totale di nove fettine. Numericamente,

${1 \over 4} + {1 \over 5} = {{5 + 4} \over {5 \times 4}} = { 9 \over 20}$ .

La formula generale per sommare due frazioni è data da

${a \over b} + {c \over d} = {{ad + bc} \over {bd}}$ ;

Se il massimo comun divisore $M$ tra $b$ e $d$ è maggiore di 1, è possibile semplificare l'operazione. Posto $b' = {b \over M}$ e $d' = {d \over M}$ , abbiamo infatti che

${a \over b} + {c \over d} = {{ad' + b'c} \over {Mb'd'}}$ ;

si noti che il denominatore $M b' d'$ è il minimo comune multiplo dei denominatori $b$ e $d$ . Un esempio numerico è

${4 \over 15} + {5 \over 6} = {{8 + 25} \over 30} = { 33 \over 30}$ .

[modifica] Commutatività

È importante ricordare che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, il che significa semplicemente che l'ordine dei fattori non conta, e tre volte un quarto è uguale a un quarto di tre; numericamente:

$3 \times {1 \over 4} = {1 \over 4} \times 3 = {3 \over 4}$

[modifica] Frazioni e sistema numerico decimale

Ogni numero razionale può essere scritto usando la scrittura decimale. La traduzione di un numero espresso con i decimali periodici in frazione può essere effettuata nel modo seguente: si mette come numeratore la differenza fra il numero scritto senza virgola e tutte le cifre che precedono il periodo, e come denominatore si mettono tanti nove quante sono le cifre nel periodo, e tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola che precedono il periodo. Ad esempio:

$3,4(3)=\frac{343-34}{90}$