Ferromagnetismo

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Il ferromagnetismo è la proprietà di alcuni materiali di essere fortemente magnetizzati anche se non sottoposti ad alcun campo magnetico esterno.

Questa proprietà si mantiene solo al di sotto di una certa temperatura detta temperatura di Curie, al di sopra della quale il materiale si comporta come un materiale paramagnetico. Sono materiali ferromagnetici la magnetite e il ferro (da cui il termine ferromagnetismo), cobalto, nichel, numerosi metalli di transizione e le loro rispettive leghe.

I materiali ferromagnetici diventano a loro volta dei magneti quando vengono immersi in un campo magnetico esterno perché l'effetto del campo magnetico è quello di orientare i momenti magnetici propri delle molecole parallelamente alla direzione del campo stesso. Le relazioni che legano i vettori $\vec B$ , $\vec H$ e $\vec M$ non sono più lineari come nei materiali diamagnetici e nei materiali paramagnetici e nemmeno reversibili. Il metodo di trovare le relazioni tra questi vettori è un metodo grafico e la legge seguita dall'andamento di $\vec B (\vec H)$ segue il ciclo di isteresi.

Indice

1 Metodo di misura
2 Ciclo di isteresi
3 Temperatura di Curie
4 Modelli Teorici
- 4.1 Hamiltoniana di Heisenberg
- 4.2 Modello di Weiss
5 Note
6 Voci correlate
7 Collegamenti Esterni

[modifica] Metodo di misura

Il metodo descritto dal ciclo di isteresi è quello di misurare il campo di induzione magnetica $\vec B$ in funzione del campo magnetico $\vec H$ , in un anello di materiale ferromagnetico di sezione A e raggio R costanti, avvolto da N spire percorse da corrente continua I. In questa situazione i campi sono circolari entro l'anello e sono trascurabili al di fuori di esso. In questo modo si calcola il valore di $\vec H$ tramite il teorema di Ampere:

$\oint_C \vec H \cdot d\vec l = N \ I$

e, poiché l'anello è assimilabile ad una circonferenza, l'integrale risulta:

$H \cdot 2\pi R = N \ I \Longrightarrow H = \frac {N \ I}{2\pi R}$

Nota la permeabilità magnetica relativa del materiale $μ r$ , si può calcolare il campo di induzione magnetica:

$B = \mu_0 \mu_r \ H = \mu \ H$

Questo sistema è quello che si usa in pratica per misurare i due campi, al variare dell'intensità di corrente, infatti:

$H \cdot 2\pi R = N \ I \Longrightarrow \Delta H = \frac {N \ \Delta I}{2\pi R}$

Una volta misurati $\vec H$ e $\vec B$ si può trovare il valore corrispondente di $\vec M$ :

$\vec H = \frac {\vec B - \mu_0 \vec M}{\mu_0} \Longrightarrow \vec M = \frac {\vec B - \mu_0 \vec H}{\mu_0}$

[modifica] Ciclo di isteresi

Ciclo di isteresi per materiali ferromagnetici

Effettuando le misure dei campi, come descritto sopra, si trova una rappresentazione grafica del tipo indicato in figura, detto ciclo di isteresi, per materiali ferromagnetici. A partire dal momento in cui $\vec B = 0$ e $\vec H = 0$ e quindi $\vec M = 0$ , il campo $\vec B$ aumenta come $\vec H$ seguendo la curva OH_m detta curva di prima magnetizzazione; fino al valore massimo $H m$ in cui

$\vec B = \mu_0 \cdot \vec H$

cioè $\vec M$ raggiunge il suo valore massimo, detto valore di saturazione.

Ora, diminuendo la corrente, diminuisce $\vec H$ , ma non ripercorre la stessa curva, ma la curva H_mB_r. Per $H = 0$ risulta che $B = B r > 0$ , cioè si ha una magnetizzazione residua

$M_r = \frac {B_r}{\mu_0}$

cioè il materiale mantiene una capacità magnetica anche senza la presenza di un campo magnetico esterno.

Invertendo ora la corrente, $\vec H$ diventa negativo come $\vec M$ , per $B = 0$ si ha $H = - H c$ detto campo di coercizione.

Infine diminuendo ancora $\vec H$ anche $\vec B$ diventa negativo fino al valore $- H m$ in cui di nuovo $\vec B$ è proporzionale a $\vec H$ e quindi $\vec M$ arriva al minimo assoluto. Ricominciando ad aumentare $\vec H$ , si ha il ciclo chiuso.

In definitiva la permeabilità magnetica: $\mu = \frac {B}{H}$ è determinabile a partire dalla relazione: $B = B (H)$ , specificando a quale curva del ciclo di isteresi appartiene. Ogni materiale ferromagnetico segue il ciclo di isteresi: per cicli che via via sono più stretti il ciclo di isteresi si restringe via via fino a ritornare a zero. Questo significa che si può "smagnetizzare" il materiale ferromagnetico e riportarlo alla condizione iniziale in cui $\vec H = 0$ , $\vec B = 0$ , $\vec M = 0$ .

Materiale	temp. Curie (K)
Materiali ferromagnetici cristallini e corrispondenti temperature di Curie in kelvin^[1]
Co	1388
Fe	1043
FeOFe₂O₃^*	858
NiOFe₂O₃^*	858
CuOFe₂O₃^*	728
MgOFe₂O₃^*	713
Mn Bi	630
Ni	627
Mn Sb	587
MnOFe₂O₃^*	573
Y₃Fe₅O₁₂^*	560
CrO₂	386
Mn As	318
Gd	292
Dy	88
EuO	69

[modifica] Temperatura di Curie

Curie fu il primo a scoprire che esiste una temperatura critica per ogni materiale ferromagnetico al di sopra della quale il materiale si comporta come paramagnetico, con suscettività magnetica, che segue la legge di Curie-Weiss:

$\chi_m = \frac {C \ \rho}{T - T_c}$

dove C è una costante caratteristica del materiale, $ρ$ è la densità e $T c$ la temperatura di Curie in kelvin.

[modifica] Modelli Teorici

Il Ferromagnetismo è ancora oggi uno dei problemi aperti della Fisica dello stato solido, anche se esistono essenzialmente due modelli teorici che riescono a spiegarlo abbastanza bene: il modello di Ising e il modello di Weiss, basati entrambi sull' Hamiltoniana di Werner Karl Heisenberg e che pero' presuppongono delle grosse approssimazioni non del tutto convincenti.

[modifica] Hamiltoniana di Heisenberg

L'Hamiltoniana per una coppia di elettroni appartenenti ad atomi vicini e': $H = H 1 + H 2 + V 12$ Dove $H 1$ e $H 2$ sono le Hamiltoniane dei singoli elettroni e $V 12$ e' l'interazione fra i due.

Per il Principio di Pauli la funzione d'onda complessiva deve essere antisimmetrica, e quindi abbiamo le due possibilita': $\varphi_{A}=\psi_{S}(\vec r_{1} , \vec r_{2}) \chi_{A}(\vec \sigma_{1} , \vec \sigma_{2})$

oppure

$\varphi_{A}=\psi_{A}(\vec r_{1} , \vec r_{2}) \chi_{S}(\vec \sigma_{1} , \vec \sigma_{2})$

Dove il pedice A o S sta ad indicare una funzione antisimmetrica/simmetrica

Le funzioni d'onda di spin per una coppia di elettroni sono:

$\chi_{S}: \left\{ \begin{matrix} |++\rangle \qquad [\vec s_{z} = 1]\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(|+-\rangle + |-+\rangle) \quad [\vec s_{z} = 0]\\ |--\rangle \qquad [\vec s_{z} = -1]\\ \end{matrix} \right.$

$\chi_{A}: \frac{1}{\sqrt{2}}(|+-\rangle - |-+\rangle) \quad [\vec s_{z} = 0]$

Le funzioni d'onda spaziali sono:

$\psi_{S}: \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1}(\vec r_{1})\psi_{2}(\vec r_{2})+\psi_{1}(\vec r_{2})\psi_{2}(\vec r_{1}))$

$\psi_{A}: \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1}(\vec r_{1})\psi_{2}(\vec r_{2})-\psi_{1}(\vec r_{2})\psi_{2}(\vec r_{1}))$

Effettuando il calcolo delle perturbazioni su queste funzioni d'onda si ottiene:

$E= \left\{ \begin{matrix} E_{0}+J \quad \rightarrow \quad \varphi_{1}=\psi_{S}\chi_{A} \\ E_{0}-J \quad \rightarrow \quad \varphi_{2}=\psi_{A}\chi_{S}\\ \end{matrix} \right.$

Dove J è l'integrale di scambio.

Quindi la Hamiltoniana 'distingue' gli stati con spin diverso. Per questo motivo Werner Karl Heisenberg trovo' un operatore che distinguesse gli stati con spin diverso e lo uso' per descrivere la precedente interazione.

l'operatore in questione e':

$\vec s_{1} \cdot \vec s_{2}= \left\{ \begin{matrix} -\frac{3}{4} \quad \rightarrow \varphi_{1} \\ \frac{1}{4} \quad \rightarrow \varphi_{2}\\ \end{matrix} \right.$

Da cui l'Hamiltoniana di Heisenberg:

$H_{Heisenberg}=-2J \vec s_{1} \cdot \vec s_{2}$

[modifica] Modello di Weiss

Il Modello di Weiss cerca di generalizzare la Hamiltoniana di Heisenberg per un sistema con più elettroni, utilizzando una approssimazione di Campo medio, cio significa che un elettrone sente un'interazione dovuta alla media del campo generato dagli altri elettroni.

La Hamiltoniana del sistema quindi diventa:

$H_{magn}=g_{0}\mu_{B}\vec s(\vec r) \cdot \vec B - \sum_{\vec r'}J(\vec r - \vec r')\vec s(\vec r)\vec s(\vec r')=$

$=s(\vec r) \cdot \langle g_{0}\mu_{B}\vec B - \sum_{\vec r'}J(\vec r - \vec r')\vec s(\vec r')\rangle=$ $s(\vec r)g_{0}\mu_{B}(\vec B - \frac{1}{g_{0}\mu_{B}}\sum_{\vec r'}J(\vec r - \vec r')\vec \langle s(\vec r')\rangle)$

Dove si è posto $g 0,μ B$ rispettivamente il fattore giromagnetico e il magnetone di Bohr.

Sostituendo ora il momento magnetico $\vec m =-g_{0}\mu_{B}\vec s$ e il vettore magnetizzazione $\vec M= \frac{N}{V}\langle \vec m \rangle$ si ha:

$H_{magn}= - \vec m(\vec r)(\vec B + \sum_{\vec r'}\frac{J(\vec r - \vec r')}{(g_{0}\mu_{B})^{2}} \frac{V}{N} \vec M)$

Quindi in definitiva:

$H_{magn}=-\vec m(\vec r)(\vec B + \lambda \vec M)$

A questo punto si nota l'analogia con il paramagnetismo di Langevin e si fa lo stesso studio, a patto di sostituire il campo magnetico con un campo magnetico efficace dato da : $\vec B + \lambda \vec M$ .

Si nota quindi, che esiste una temperatura critica (temperatura di Curie):

$T_{C}=\frac{J_{0}s(s+1)}{3k}$

al di sotto della quale si manifestano gli effetti del ferromagnetismo.

Dove $J 0, s, k$ sono rispettivamente : $\sum_{\vec r'}\frac{J(\vec r - \vec r')}{(g_{0}\mu_{B})^{2}}$ , l'autovalore dello spin e la costante di Boltzmann.

[modifica] Note

^ (EN) Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley: New York, 1996)

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti Esterni

R. Raimondi Un introduzione al magnetismo (Roma 3)
(EN) Ferromagnetism Hyperphysics (Georgia State University)
(EN) David Bowler Ferromagnetism (University College of London)

Categorie: Magnetismo | Chimica fisica