Fasore

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In fisica, teoria dei circuiti ed elettrotecnica il fasore è un numero complesso (pertanto è rappresentabile come vettore del diagramma di Argand) equivalente ad una funzione sinusoidale di pulsazione ben definita. I fasori sono utilizzati quale comoda rappresentazione di grandezze fisiche oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Indice

1 Rappresentazione dei numeri complessi
2 Grandezze sinusoidali e fasori
3 Leggi costitutive dei bipoli nel dominio dei fasori
4 Legge di Ohm simbolica
5 Voci correlate

[modifica] Rappresentazione dei numeri complessi

Per approfondire, vedi la voce Numero complesso.

Dall'analisi complessa un numero complesso è rappresentabile in forma algebrica nel piano complesso come:

$\emph z = x + j y$

dove $j 2 = - 1$ è l'unità immaginaria (nel solo campo ingegneristico è invalsa l'abitudine di utilizzare j in luogo di i per evitare confusioni con la corrente). La forma algebrica è scomoda per certe applicazioni, come quelle qui trattate, in cui è vantaggiosa la forma polare:

$\emph z = \rho (\cos \phi + j \sin \phi)$

dove $φ$ è l'angolo rispetto all'asse reale.

Le formule di passaggio sono:

$\rho = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \, \,; \, \, \phi = \arg z = \arctan \frac{y}{x}$

$x = \rho \cdot \cos (\arg z) \, \,; \, \, y = \rho \cdot \sin (\arg z)$

Utilizzando la formula di Eulero:

$\emph e^{j\phi} = \cos \phi + j \sin \phi$

possiamo utilizzare la rappresentazione esponenziale o trigonometrica dei numeri complessi:

$\emph z = x + j y = \rho(\cos \phi + j \sin \phi) = \rho e^{j\phi}$

[modifica] Grandezze sinusoidali e fasori

Data quindi la famiglia di tutte le funzioni sinusoidali isofrequenziali (cioè alla stessa frequenza e quindi con pulsazione $ω$ fissata), e che rappresentano una generica grandezza $x(t)\;$ :

$x(t) = X \cos(\omega t + \phi_x)\;$

qualsiasi funzione appartenente a questa famiglia può essere rappresentata da un numero complesso con modulo $X$ e anomalia (o angolo) $\phi_x \;$ , chiamata in ambito elettrico fase. Si può quindi scrivere, per il nostro caso:

$x(t) \Rightarrow^{\mathfrak{F}} X e^{j \phi_x} \equiv \bar{A}$ dove $\mathfrak{F}$ indica la trasformazione da funzione del tempo a fasore e $j$ indica l'unità immaginaria.

Essendo la pulsazione $ω$ sottintesa, i fasori possono essere impiegati solo in circuiti elettrici nei quali tutte le grandezze elettriche siano sinusoidali e siano tutte alla stessa frequenza. Si può dimostrare che ciò è rigorosamente possibile solo nei circuiti lineari.

I fasori possono essere espressi sia in forma polare, indicando quindi, come sopra, modulo e fase, sia in forma cartesiana. In questo caso si ha:

$\Re (\bar{X}) = X \cos( \phi_x)$

$\Im (\bar{X}) = X \sin( \phi_x)$

Lo scopo dei fasori è quello di rendere più semplice e immediata l'analisi a regime dei circuiti lineari dotati di ingressi sinusoidali puri (o riconducibili ad una somma di sinusoidi. In questo caso, la linearità del circuito ci garantisce la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e di analizzare il circuito per ogni singola componente di quella somma di sinusoidi di cui è costituito il segnale). È quindi necessario che i fasori soddisfino alcune semplici proprietà:

- deve essere possibile non solo trasformare le funzioni sinusoidali in fasori, ma anche ritrasformare la soluzione, trovata in termini fasoriali, in sinusoidi; questa operazione si chiama antitrasformazione

e infatti

$\bar{X} \equiv X e^{j\phi_x} \Rightarrow$ si moltiplica per $e^{j \omega_0 t} \Rightarrow X e^{j(\omega_0 t + \phi_x)} \Rightarrow$ si rappresenta in modo cartesiano (Eulero) $X[ \cos(\omega_0 t + \phi_x) + j \sin(\omega_0 t + \phi_x)] \Rightarrow$ se ne estrae la parte reale $\Rightarrow X \cos(\omega_0 t + \phi_x)$ riottenendo la sinusoide originale.

- la somma di due funzioni sinusoidali deve essere equivalente alla somma dei fasori corrispondenti (antitrasformati in sinusoidi)

- il prodotto di una sinusoide per un numero reale deve essere equivalente al prodotto del fasore corrispondente per lo stesso numero reale.

deve esistere una regola coerente per esprimere la derivata di un fasore, in modo che applicando questa regola ad un fasore e poi antitrasformandolo si riottenga la derivata della sinusoide originale.

si ha

dato il fasore $x(t) \Rightarrow \bar{X}$ si trova facilmente $\frac{dx(t)}{dt} \Rightarrow j \omega_0 \bar{X}$

[modifica] Leggi costitutive dei bipoli nel dominio dei fasori

Si possono determinare le nuove leggi costitutive dei bipoli R, L e C (lineari) con semplici operazioni.

Resistore $v (t) = R i (t)$ : $\mathbf{V} = R \mathbf{I}$ . L'impedenza del resistore, definita come rapporto tra il fasore della tensione e quello della corrente, è quindi equivalente al suo valore di resistenza, ed è quindi un numero reale. Tensione e corrente sono quindi in fase ( $\phi_v \equiv \phi_i$ ).

Condensatore $i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$ : $\mathbf{I} = j \omega C \mathbf{V}$ . L'impedenza del condensatore, definita come rapporto tra il fasore della tensione e quello della corrente, è quindi

$\mathbf{Z}_C = \frac{1}{j \omega C}$ , e la corrente è sfasata in anticipo di

π / 2

rispetto alla tensione (è in in anticipo).

Induttore $v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$ : $\mathbf{V} = j \omega L \mathbf{I}$ . L'impedenza dell'induttore è

$\mathbf{Z}_L = j \omega L$ , e la corrente è sfasata in ritardo di

π / 2

rispetto alla tensione (è in in ritardo).

[modifica] Legge di Ohm simbolica

Definendo in maniera del tutto generale l'impedenza $\mathbf Z$ , possiamo rappresentare la legge di Ohm in modo simbolico, in una forma uguale a quella classica in regime puramente resistivo: