Equilibrio idrostatico

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L'equilibrio idrostatico è un bilanciamento tra la forza di gradiente e la forza di gravità nell'atmosfera della Terra.

Nell'atmosfera, la pressione dell'aria diminuisce con l'aumento dell'altitudine.

Ciò causa una forza diretta verso l'alto, denominata forza di gradiente, che tende a ridurre al minimo le differenze di pressione.

La forza di gravità, d'altra parte, equilibra quasi esattamente questa, mantenendo l'atmosfera legata alla Terra e conservando le differenze di pressione con l'altezza. Senza la forza di gradiente, l'atmosfera collasserebbe ad un involucro molto più sottile intorno alla Terra e senza la forza di gravità, la forza di gradiente diffonderebbe l'atmosfera nello spazio, lasciando la Terra quasi senza atmosfera.

Nelle stelle è l'equilibrio idrostatico che mantiene costante il volume e il diametro stellare, in quanto l'espansione data dall'energia di fusione viene contrastata dalla forza di gravità del plasma, che tende a farlo collassare.

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Per un volume di un fluido che non è in movimento o è in movimento costante, le leggi di Newton dichiarano che deve trovarsi in equilibrio di forze. Questo equilibrio è denominato equilibrio idrostatico.

Dividendo il volume del fluido in parti e considerando un'unica parte, ci sono 3 forze che agiscono:

La forza verso il basso generata dalla pressione del fluido sovrastante $F_{superiore}=P_{superiore} \cdot A$

dove:

- P è la pressione
- A è l'area
La forza verso l'alto generata dalla pressione fluido sottostante
- in questa equazione il segno meno indica il verso di azione (contrario alla precedente)
La forza peso del volume dove:
- ρ è la densità
- a è l'accelerazione di gravità (a=g sulla superficie terrestre)
- V= $4 / 3π r 3$ è il volume

nell'ultima equazione possiamo sostituire a m $A\cdot h \cdot \rho (r)$ dove:

A è l'area
h è l'altezza

La forza totale sul fluido è quindi:

$F_{totale}=F_{superiore}+F_{inferiore}+F_{peso}=P_{superiore} \cdot A - P_{inferiore} \cdot A + G \frac{4}{3}\pi r\rho (r)^2 h$

Se come detto le forze forze sono in equilibrio $F t o t a l e = 0$ ; è quindi possibile dividere per A

$0=P_{superiore} - P_{inferiore} + G \frac{4}{3}\pi r\rho (r)^2 h$

da cui,

$P_{superiore} - P_{inferiore} = - G \frac{4}{3}\pi r\rho (r)^2 h$

$P s u p e r i o r e - P i n f e r i o r e$ è la differenza di pressione nei due estremi dell'elemento di altezza h. Immaginiamo che il volume che stiamo studiando sia infinitesimale ( $h = d r$ e $d m = ρ d V = ρ A d r$ ) possiamo scrivere l'equazione in forma differenziale:

$dP = - G\frac{4}{3}\pi \rho (r)^2 rdr$

ovvero:

$\frac{dP}{dr}=-G\frac{4}{3}\pi \rho (r)^2 r$

La pressione è minore verso l'alto per cui il segno di dP/dr è negativo e la densità decresce con l'altezza.

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Categoria: Meccanica e dinamica dei fluidi

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