Caduta libera

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Lo studio del moto di caduta libera di un corpo può essere studiato usando la cinematica, infatti quest'ultima ci permette di studiare il fenomeno senza considerare le cause che lo determinano.

Un corpo in caduta libera è soggetto all'accelerazione di gravità che è costante e diretta verticalmente verso il basso, quindi si tratta di un moto rettilineo uniformemente accelerato. Scelto il sistema di riferimento composto dall'asse z rivolta verso il basso, l'accelerazione ha la forma:

(1) $\; \vec a = \frac{d\vec v}{dt} = g = cost$

dove g è l'accelerazione di gravità. La soluzione è quella di trovare le equazione del moto del corpo. A tale scopo si può integrare la (1) rispetto ad un intervallo di tempo generico:

$\int_{v_0}^{v(t)} \vec d v(t) = \int_{t_0}^{t} g \, dt$

dove $v (t 0) = v 0$ . Otteniamo:

(2) $\; v(t) = \frac{dz}{dt} = g t + v_0$

che è l'equazione della velocità (anch'essa rettilinea e diretta verso il basso) per il nostro corpo. Integrando nuovamente la (2):

(3) $\; \int_{z_0}^{z(t)} dz(t) = \int_{t_0}^{t} g t \, dt + \int_{t_0}^{t} v_0 \, dt \, \Longrightarrow \, z(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v_0 t + z_0$

Questa è l'equazione del moto per il corpo in caduta libera. Ovviamente $z 0$ è l'altezza cui il corpo viene lasciato e poiché la scelta del sistema di riferimento è arbitraria, possiamo sempre scegliere che essa coincida con zero, altrimenti con h, cioè la quota iniziale. D'altra parte $v 0$ è la velocità iniziale del corpo, se esso viene lasciato cadere, allora $v 0 = 0$ , altrimenti se il corpo viene lanciato verso il basso allora $v_0 \neq 0$ e bisogna tenerne conto.

Da notare che da un certo punto in poi non si è usata la notazione vettoriale perché il moto si svolge lungo una linea retta e dunque si abusa legittimamente della notazione, come ad esempio $v = \dot z$ intendendo che è la derivata rispetto al tempo della coordinata spaziale. Così anche $a = \ddot z$ .

[modifica] Tempo di caduta

Dalla (2) si può ricavare il tempo di caduta del corpo:

$t_{cad} = \frac{v(t) - v_0}{g}$

[modifica] Variante del moto

Una variante del moto in caduta libera è il lancio di un corpo verticalmente verso l'alto. in tal caso scegliamo un sistema di riferimento composto dall'asse 'z' ma rivolto verso l'alto. In tal caso le equazioni (1), (2), (3) rimangono invariate eccetto che per il segno dell'accelerazione di gravità che stavolta è negativo.

In questo caso il corpo raggiunge una certa quota partendo da $z 0 = 0$ , e questo implica innanzitutto che la velocità iniziale non è mai nulla (altrimenti significherebbe che il corpo non si è mai mosso), e successivamente raggiunge la massima quota h per poi ridiscendere verso terra. Questo implica che la velocità si annulla nel punto di inversione del moto, esattamente al tempo:

$t_{inv} = \frac{v_0}{g}$

a cui corrisponde un'altezza massima (cioè la quota massima):

$z_{max} = h_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{2g}$

ottenuta sostituendo il valore del tempo di inversione (ottenuto dalla (2) per $v 0 = 0$ ) nella (3).

L'istante di caduta al suolo è quello per cui $z = 0$ e risolvendo la (3):

$z(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v_0 t = 0$

le cui soluzioni sono due: una di queste è da scartare perché negativa (significherebbe che il tempo è negativo), l'altra soluzione sarà semplicemente:

$t_{cad} = \frac{2 v_0}{g} = 2 t_{inv}$