Vecteur d'onde

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En physique, un vecteur d'onde (ou « vecteur de phase » notamment en électronique) est un vecteur perpendiculaire au front d'onde d'une onde monochromatique. La norme du vecteur d'onde correspond au nombre d'onde (lié à l'inverse de la longueur d'onde).

Pour la lumière, et en relativité restreinte et générale, la fréquence est associée au vecteur d'onde, ce qui donne le quadrivecteur d'onde.

Utilisation

Le vecteur d'onde est très utile pour généraliser l'équation d'une onde à la description d'une famille d'ondes. Si toutes les ondes d'une famille se propagent dans la même direction et possèdent la même longueur d'onde, elles peuvent toutes être décrites par le même vecteur d'onde. Le cas le plus courant d'une famille d'ondes respectant ces conditions est celle d'une onde plane, pour laquelle la famille d'ondes est également cohérente (toutes les ondes possèdent la même phase).

Histoire

Einstein a postulé en 1918 que la quantité de mouvement (p) est similaire au vecteur de l'onde associé au corpuscule (k)^{[réf. nécessaire]} (à une constante dimensionnée près). Ce qui donne :

p=ℏk (émissions dirigées)

Avec l'effet photoélectrique (mis en évidence par Hertz et Lenard et interprété par Einstein) cette relation a permis l'écriture de l'équation de Schrödinger, à la base de la physique quantique^{[réf. nécessaire]}.

Exemple des ondes planes

Par exemple, une représentation courante d'une onde en un point est :

\psi \left(t\right) = A \cos \left(\phi + \omega t\right)\,

A est l'amplitude de l'onde.
ω est la fréquence angulaire ou pulsation.
φ est le déphasage de l'onde.
t est la variable temps.

Pour généraliser cette équation à tous les points d'un espace unidimensionnel dans la direction de propagation, il est nécessaire d'ajouter un second terme de déphasage :

\psi \left(t , z\right) = A \cos \left(\phi - k z + \omega t\right)\,

k est le nombre d'onde.
z est la variable d'espace dans la direction de propagation.

Dans le cas d'un espace à trois dimensions et dans le cas d'ondes planes, il est aisé de généraliser la formule précédente en remplaçant le nombre d'onde k par le vecteur d'onde $\vec k$ et la variable d'espace z par le vecteur position $\vec r$

\psi \left(t , \vec {\mathbf r} \right) = A \cos \left( \phi - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} + \omega t \right) \,

Le raisonnement est similaire pour des ondes "non planes", mais avec une amplitude A dépendant de la position.

Onde plane électromagnétique

La valeur $\psi$ peut aussi bien désigner la valeur complexe de la projection suivant un axe (x par exemple) d'un champ électrique

$\vec {\mathbf E} = \begin{bmatrix} E_{0} \cdot e^{ i \phi_{E} }\cdot e^{ i \left( \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} \right ) } \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

Ou tout aussi bien la valeur complexe de la projection suivant un axe (y par exemple) d'un champ magnétique

$\vec {\mathbf B} = \begin{bmatrix} 0 \\ B_{0} \cdot e^{ i \phi_{B} }\cdot e^{ i \left( \omega t - \vec {\mathbf k} \cdot \vec {\mathbf r} \right ) } \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

Dans le cas de l'approximation d'une onde plane ces deux vecteurs et le vecteur d'onde (placé dans ce cas suivant l'axe z) forment un trièdre orthogonal.

$\vec {\mathbf K} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ k_{z} \\ \end{bmatrix}$

De nombreuses démonstrations faites avec les nombres complexes (et des exponentielles) s'avèrent non seulement plus élégantes mais aussi plus simples à comprendre. Le résultat doit cependant être transformé en nombre réel en respectant la convention de signe choisie : i ou -i.

Quadrivecteur d'onde en relativité

En ce qui concerne les ondes électromagnétiques, on peut introduire un quadrivecteur d'onde $K_{4} = \left({\omega \over c} ; k_{x} ; k_{y} ; k_{z} \right)$ et un quadrivecteur position $\ R_{4}= (ct ; x ; y ; z)$ issus de l'espace de Minkowski, et en utilisant la forme bilinéaire de l'espace de Minkowski, on a :

$\psi \left( t , \vec {\mathbf r} \right) = A_{0} \cdot e^{i \phi} \cdot e^{i K_{4} \cdot R_{4}}$

avec c la vitesse de la lumière.

Voir aussi

Onde
Nombre d'onde
Espace réciproque
Vecteur de Poynting
Équations de Maxwell

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