Théorie de la mesure

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La théorie de la mesure est la branche des mathématiques qui traite des espaces mesurés et est le fondement axiomatique de la théorie des probabilités.

Histoire

Article détaillé : théorie de l'intégration.

En 1894, Émile Borel énonce la première définition d'ensemble négligeable. En 1897, il définit les ensembles mesurables. En 1901, Henri-Léon Lebesgue introduit la notion de mesure. La théorie se développe jusque dans les années 1950. Andreï Kolmogorov proposera une axiomatisation du calcul des probabilités basée notamment sur l'intégrale définie à partir d'une mesure.

Lebesgue et ses successeurs ont été amenés à généraliser la notion d'intégrale au point d'en faire ce que certains appellent une intégrale abstraite. L'aire sous une courbe est calculée par une somme de petits rectangles dont la hauteur représente la valeur moyenne de la fonction sur un intervalle et la base la mesure de l'intervalle. Sur une droite réelle, la mesure de Lebesgue d'un intervalle est la différence des distances par rapport à l'origine. Mais une mesure est une fonction, et cela a donc amené les mathématiciens de l'époque à généraliser l'intégrale non plus selon une mesure particulière, celle de Lebesgue, mais selon n'importe quelle mesure. C'est comme si pour mesurer un intervalle on utilisait un abaque (mesures discrètes) ou tout autre instrument plutôt qu'un mètre-ruban.

Intégration selon une mesure

Article détaillé : Intégrale de Lebesgue.

Notation

Soit $(\Omega,\mathcal{E},\mu)$ un espace mesuré. Une intégrale selon une mesure s'écrit :

$\displaystyle \int_{\Omega}f(x)\,d\mu(x)$ ou $\displaystyle \int_{\Omega}f\,d\mu$

Mesure à densité

Lorsque la mesure représente l'intégrale d'une fonction, on parle de mesure à densité :

$\displaystyle \nu(A) =\int_{\Omega}g\,d\mu(A)$

On démontre par le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue que l'intégrale selon cette mesure peut alors s'exprimer de la manière suivante :

$\displaystyle \int_\Omega f d(\nu(A)) =\int_{\Omega}f g\,d\mu(A)$

Voir aussi

Cours de L3 de mesure et d'intégration à l'université Joseph Fourier (Grenoble) - http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/enseignement/IMG/pdf/integrationa.pdf

Bibliographie

Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Paris, 1992.
Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.

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