Primitive

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En mathématiques, une primitive d'une fonction $f$ d'une variable réelle définie sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ , définie et dérivable sur $I$ , dont la dérivée est $f$ , autrement dit telle que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$ , $F' (x) = f (x)$ ; une notation rigoureuse (voir calcul des prédicats) est donc :

\forall x \in I,\quad F\,'(x) = f(x).

Une condition suffisante (mais pas du tout nécessaire) pour qu'une fonction $f$ admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si $f$ est une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ alors, pour tout réel $k$ , une primitive de $kf$ sur $I$ est $kF$ .

Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de deux fonctions $f$ et $g$ , alors une primitive de $f + g$ est $F + G$ .

Si une fonction $f$ admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une fonction constante (appelée souvent « constante d'intégration ») : si $F 1$ et $F 2$ sont deux primitives de $f$ , alors il existe un scalaire $C$ tel que $F 1 (x) = F 2 (x) + C$ pour tout x élément de l'intervalle.

Pour les fonctions numériques d'une variable réelle, la théorie de la primitivation (achevée par Denjoy) et la théorie de l'intégration (achevée par Lebesgue) sont a priori totalement étrangères ; néanmoins, la recherche "classique" de primitives est fortement liée au calcul sur les intégrales à cause du cas très fréquent des fonctions continues : si $F$ est une primitive de la fonction $f$ continue entre les réels a et b, alors (seconde partie du théorème fondamental de l'analyse) :

F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\;\mathrm dx.

Exemples

Polynômes et fonctions rationnelles

Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto 2x\,$ est $F:x \longmapsto x^2\,$
Une primitive de la fonction $g:x \longmapsto 4x^3\,$ est $G:x \longmapsto x^4\,$
Une primitive de la fonction $f+g:x \longmapsto 2x + 4x^3\,$ est $F + G:x \longmapsto x^2 + x^4\,$
Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto x^n\,$ est $F:x \longmapsto \tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n$ réel différent de −1.
Une primitive sur $]0,+\infty[$ de la fonction inverse $f:x \longmapsto \tfrac{1}{x}$ est la fonction logarithme népérien $x \longmapsto \ln(x)\,$ .
Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf en la décomposant en éléments simples.

Fonctions trigonométriques

Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.
Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

Autres

Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Calcul automatique

Des logiciels comme Maxima, Sage, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC (en), utilisé par les physiciens dans les années 1970.

Il n'est cependant pas possible en général d'exprimer les primitives de fonctions élémentaires (comme celles de la fonction $x\mapsto 1/\ln x$ ) à l'aide de fonctions élémentaires seules (d'où la nécessité d'introduire des « fonctions spéciales » telles que la fonction Logarithme intégral, Li) ; des conditions précises pour qu'une primitive « élémentaire » explicite existe sont données par un théorème de Liouville, et il est même possible d'automatiser complètement la recherche de telles primitives, grâce à l'algorithme de Risch.

Primitives courantes

Articles détaillés : table de primitives et table d'intégrales.

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives, la deuxième est son domaine de définition et la troisième, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans ce domaine.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives et la seconde, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans son domaine.

(Sur une réunion d'intervalles disjoints, une primitive a la même expression, mais avec une constante C a priori différente pour chaque intervalle.)

Fonctions simples

$C,a,\omega,\varphi$ désignent des constantes réelles, avec $\omega\neq 0$ .

Tableau des primitives simples
$f(x)$	$D_D$	$F(x)$
${a}\,$	$\R$	$a x + C\,$
$1/x$	$\R^*$	$\ln\|x\|+C\,$
$x^a, \forall\, a\in \R\backslash\{-1\}$	$\R^$ si $a\in\Z$ ; $\R^_+$ sinon	$\frac {x^{a+1}}{a+1}+C$
$a^x~(a>0)$	$\R$	$\frac {a^x}{\ln a}+C\,$
$\ln(x)\,$	$\R^*_+$	$x(\ln(x) - 1) + C\,$
$\cos(\omega x+\varphi)$	$\R$	$\frac{1}{\omega} \sin(\omega x+\varphi)+C$
$\sin(\omega x+\varphi)$	$\R$	$-\frac{1}{\omega} \cos(\omega x+\varphi)+C$
$\frac {1}{\cos^2{x}}$	$\R\backslash \left\{(\pi/2)+k\pi\mid k\in\Z\right\}$	$\tan {x}+C\,$
$-\frac {1}{\sin^2{x}} \,$	$\R\backslash \left\{k\pi\mid k\in\Z\right\}$	$\cot\,{x}+C\,$
$\tan x$	$\R\backslash \left\{(\pi/2)+k\pi\mid k\in\Z\right\}$	$-\ln \|\cos {x}\|+C\,$
$\cot\,{x}$	$\R\backslash \left\{k\pi\mid k\in\Z\right\}$	$\ln \|\sin {x}\|+C\,$
$\frac {1}{\sqrt { 1 - x^2 }}$	$] -1 \; , \; 1 [$	$\arcsin{x} +C=-\arccos{x}+(\pi/2)+C$
$\frac {1}{ 1 + x^2 }$	$\R$	$\arctan{x} +C$
$\operatorname{cosh}\,{x}$	$\R$	$\operatorname{sinh}\,{x}+C$
$\operatorname{sinh}\,{x}$	$\R$	$\operatorname{cosh}\,{x}+C$
$\frac {1}{\operatorname{cosh}^2\,{x}}$	$\R$	$\operatorname{tanh}\,{x}+C\,$
$\frac {1}{\operatorname{sinh}^2\,{x}} \,$	$\R^*$	$-\operatorname{coth}\,{x}+C\,$
$\frac {1}{\sqrt { x^2 + 1 }}$	$\R$	$\operatorname{arsinh}\,{x} +C$
$\frac {1}{\sqrt { x^2 - 1 }}$	$]1 \; , \; + \infty[$	$\operatorname{arcosh}\,{x} +C$
$\frac {1}{ 1 - x^2 }$	$\R\setminus\{-1,1\}$	$\begin{cases}\text{sur }] -1 \; , \; 1 [& \operatorname{artanh}\,{x} +C\\\text{sur }]1 \; , \; + \infty[\text{ ou }]- \infty , \; \; -1[&\operatorname{arcoth}\,{x} +C\end{cases}$

Ce tableau inclut les primitives de $x^a$ non seulement pour $a\in\N$ (entier naturel), ce qui permet de trouver celles des polynômes, mais aussi pour $a\in\Z$ (entier relatif), par exemple $\frac 1{x^2}=x^{-2}$ , et même pour $a$ réel non entier, par exemple $\sqrt x=x^\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{\sqrt x}=x^{-\frac{1}{2}}$ . Les fonctions arcsin, arccos et arctan sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques correspondantes. Les fonctions cosh, sinh, tanh, et leurs fonctions réciproques arsinh, arcosh et artanh, etc. sont définies et étudiées précisément dans l'article Fonction hyperbolique

Fonctions composées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions, et $\lambda$ un réel.

Tableau des primitives composées
$f(x)$	$F(x)$
$\lambda u^\prime$	$\lambda\ u + C$
$u^\prime + v^\prime$	$u+v+C$
$(v^\prime\circ u) \times (u^\prime)$	$(v\circ u)+C$
$(u^a)\times(u^\prime), \forall\,a\in \R\setminus\{-1\}$	$\frac {u^{a+1}}{a+1}+C$
$\frac{u^\prime}{u}$	$\ln{\|u\|}+C$
$\sin u \times u^\prime$	$- \cos{u} +C$
$e^u \times u^\prime$	$e^{u}+C\,$

Articles connexes

Théorème de Liouville (algèbre différentielle), donnant des conditions pour qu'on puisse exprimer une primitive sous forme explicite.
Algorithme de Risch
Calcul numérique d'une intégrale
Intégrale impropre
Intégrale indéfinie
Intégration (mathématiques)
Point de Lebesgue
Intégration des fonctions réciproques

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