Modulation d'amplitude

La modulation d'amplitude ou MA (AM en anglais) est une technique utilisée pour moduler un signal. Elle consiste en la multiplication du signal à moduler par un signal de fréquence plus élevée.

Définition

La modulation d'amplitude consiste à faire varier l'amplitude d'un signal de fréquence élevée, le signal porteur, en fonction d'un signal de plus basse fréquence, le signal modulant. Ce dernier est celui qui contient l'information à transmettre (voix, par exemple, recueillie par un microphone).

Allure du signal modulé

Le signal porteur x_p(t) est de fréquence élevée (fréquence radio dépassant 100 kHz). Son allure est la suivante :

Signal porteur.

Le signal modulant x_m(t) est lui de fréquence relativement faible (par exemple fréquence audio inférieure à 20 kHz) :

Signal modulant.

Le signal modulé (ou signal de sortie) y(t), a l'allure suivante (pour un taux de modulation de 50 %) :

Signal modulé.

La figure suivante montre la différence entre la modulation en amplitude (AM) et la modulation en fréquence (FM).

Différence entre la modulation en fréquence (FM) et la modulation en amplitude (AM).

Pour la modulation d'amplitude, il s'agit donc de faire varier l'amplitude de la porteuse en fonction du signal modulant, sans que cette variation dépasse l'amplitude de la porteuse avant modulation.

Modulation

Principe

La porteuse (avant modulation) est un signal sinusoïdal de fréquence f_p relativement élevée :

x_{p}(t) = A_{p} \cos(\omega_{p}t),

où

A_p est l'amplitude maximale du signal ;
ω_p= 2π f_p est la pulsation du signal.

Supposons pour simplifier que le signal modulant soit périodique (sinusoïdal lui aussi), de fréquence nettement plus faible f_m :

x_{m}(t) = A_{m} \cos(\omega_{m}t),

où

A_m est l'amplitude maximale du signal ;
ω_m= 2π f_m est la pulsation du signal.

Supposons en outre que ce signal soit amplifié d'un facteur k lors de la modulation.

Le signal modulé est alors obtenu en ajoutant le signal de la porteuse et le produit de celui-ci par le signal modulant et le facteur k. Soit :

\begin{align} y(t) &= x_{p}(t) + kx_{p}(t)x_{m}(t)\\ &= x_{p}(t)[1 + k x_{m}(t)]\\ &= A_{p}[1 + kA_{m} \cos(\omega_{m}t)] \cos(\omega_{p}t). \end{align}

Ou encore, en posant h = kA_m :

y(t) = A_{p}[1 + h \cos(\omega_{m}t)] \cos(\omega_{p}t).

h est appelé indice de modulation. Cet indice doit rester inférieur ou égal à 1, sous peine de « surmodulation » (voir ci-dessous).

Dans l'expression suivante :

y(t) = [A_{p} + hA_{p} \cos(\omega_{m}t)] \cos(\omega_{p}t),

on voit le terme constant égal à A_p correspondant à ce qui est parfois appelé (abusivement) offset ou décalage.

Implémentation

Techniquement, la modulation s'effectue grâce à des circuits électroniques spécifiques (appelés modulateurs) :

soit un amplificateur à gain variable dont la commande de gain est justement le signal modulant (auquel on a ajouté une composante continue^[1] pour éviter la surmodulation (voir plus bas) ;
soit en technologie DSP un multiplieur (de constante multiplicative k) et un additionneur :

Modulation d'amplitude par technologie DSP.

Dans les deux cas le signal de sortie est le même : celui obtenu en ajoutant le signal de la porteuse et son produit par le signal modulant et le facteur k.

Indice de modulation

L'indice de modulation (ou taux de modulation, ou profondeur de modulation) d'amplitude est la mesure de la variation d'amplitude par rapport à l'amplitude de la porteuse non modulée. On le définit par :

h = k.V_{m},

où V_m est l'amplitude maximale^[2] du signal modulant.

L'indice de modulation d'amplitude est normalement compris entre 0 et 1 (autrement dit entre 0 % et 100 %) pour éviter la surmodulation (3^e exemple de la figure ci-dessus). Les systèmes de transmission incorporent en général un circuit limiteur permettant d'éviter un tel dépassement.

Si h = 0,5, l'amplitude de la porteuse varie entre 50 % au-dessus et 50 % au-dessous de son niveau normal (autrement dit entre 50 % et 150 %). Pour h = 1, elle varie entre 0 % et 200 %. Ces deux exemples sont représentés dans la figure ci-dessous.

Indice de modulation.

S'il n'y a pas de surmodulation la formule suivante permet de calculer l'indice de modulation en mesurant seulement les amplitudes maximales et minimales du signal modulé :

h = \frac{V_\mathrm{max} - V_\mathrm{min}}{V_\mathrm{max} + V_\mathrm{min}},

où

V_max est l'amplitude maximale du signal modulé ;
V_min est l'amplitude minimale du signal modulé.

Surmodulation

Si l'amplitude du signal modulant est supérieure au décalage (ceci peut arriver si l'on ajoute un offset avant la multiplication) le taux de modulation $h$ est supérieur à 1. On parle de surmodulation. La surmodulation est un peu différente suivant le type de démodulateur. Dans tous les cas cependant, le gros inconvénient de la surmodulation, c'est que la démodulation ne peut plus restituer correctement le signal transmis (modulant). Il y a donc distorsion de celui-ci.

Dans le cas d'un modulateur DSP, le signal résultant étant alors de la forme suivante (avec inversion de phase là où il y a surmodulation) :

Signal surmodulé.

Dans le cas d'un modulateur par amplificateur à gain variable, l'amplitude devient nulle dans les zones où il y a surmodulation.

Spectre de fréquences

Le spectre de fréquences du signal modulé est un graphe présentant l'amplitude de chaque composante sinusoïdale du signal. En effet, tout signal périodique pouvant être décomposé en somme de fonctions sinusoïdales, le signal modulé est une somme de signaux sinusoïdaux, bien que l'expression trouvée précédemment soit un produit.

Reprenons-la et linéarisons-la :

\begin{align} y(t) &= A_{p}[1 + h \cos(\omega_{m}t)] \cos(\omega_{p}t)\\ &= A_{p} \cos(\omega_{p}t) + A_{p}h \cos(\omega_{m}t) \cos(\omega_{p}t)\\ &= A_{p} \cos(\omega_{p}t) + \frac{A_{p}h}{2} \cos[(\omega_{p}+\omega_{m})t] + \frac{A_{p}h}{2} \cos[(\omega_{p} - \omega_{m})t]. \end{align}

Le spectre de fréquences est le suivant (l'amplitude des raies secondaires est A_ph/2) :

Spectre de fréquences.

En pratique, le signal modulant balaye une certaine plage de fréquences [f_m1, f_m2]. L'allure du spectre de fréquences sera la suivante :

Spectre d'amplitude.

On voit donc ici que pour que deux signaux ne se brouillent pas mutuellement, il faut que les spectres ne se superposent pas. Il faut donc espacer suffisamment les fréquences des deux porteuses.

Démodulation

Une fois le signal reçu, il va falloir le démoduler pour pouvoir l'utiliser. On suppose que le signal reçu est de la forme :

y(t) = A_{p}[1 + h \cos(\omega_{m}t)] \cos(\omega_{p}t).

Démodulation par DSP

Considérons le circuit DSP suivant :

Démodulation d'amplitude par technologie DSP.

Les signaux v_s(t) et v₀(t) sont appliqués aux deux entrées d'un multiplieur de constante k. v₀(t) est un signal dont la fréquence est synchronisée avec celle de la porteuse.

v_0(t) = V_0 \cos(\omega_{p}t).

Calculons u(t) :

\begin{align} u(t) &= kv_0(t)v_{s}(t)\\ &= kV_0 V_p[1 + h \cos(\omega_{m}t)] \cos^2(\omega_{p}t)\\ &= kV_0 V_p[1 + h \cos(\omega_{m}t)]\frac{1 + \cos(2\omega_{p}t)}{2}\\ &= \frac{kV_0 V_{p}}{2}[1 + h \cos(\omega_{m}t) + \cos(2\omega_{p}t) + \cos(2\omega_{p}t)h \cos(\omega_{m}t)]\\ &= \frac{kV_0 V_{p}}{2}\left[1 + h \cos(\omega_{m}t) + \cos(2\omega_{p}t) + \frac{1}{2}h[\cos(2\omega_{p}t + \omega_mt) + \cos(2\omega_{p}t - \omega_{m}t)]\right]\! . \end{align}

u(t) est donc la somme de cinq signaux. u(t) va maintenant passer dans un filtre passe-bande, dont les fréquences de coupures seront choisies autour des fréquences du son audible. Ainsi à la sortie du filtre, toutes les composantes de fréquences trop faibles ou trop élevées seront supprimées et il ne restera que le signal :

v_{d}(t) = \frac{kV_0 V_{p}h}{2} \cos(\omega_{m}t).

On obtient ainsi le signal initial, avec une amplitude différente.

Démodulation par détection

Une simple diode redressant le signal et l'obligeant donc à être positif va faire que la valeur moyenne ne sera pas nulle mais suivra les variations du signal modulant. Un filtre passe-bas (condensateur + résistance par exemple) va alors permettre d'éliminer la composante haute fréquence et on retrouvera le signal initial.

Problème de la démodulation

En pratique, il sera impossible d'avoir un signal v₀(t) parfaitement synchrone de la porteuse. En effet, les fluctuations de la fréquence, aussi minimes soient elles vont entrainer une détérioration du signal audible, appelée fading. La correction de ce problème passe par la mise en place d'une boucle à verrouillage de phase, qui permet d'ajuster au mieux la fréquence de v₀(t).

Notes et références

↑ Cette composante continue est appelée parfois offset.
↑ En pratique, le signal modulant n'est pas sinusoïdal. Son amplitude est donc elle-même variable et c'est la valeur max de cette amplitude qu'il faudra utiliser dans cette formule.

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