Groupe unitaire

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En mathématiques, le groupe unitaire de degré n sur un corps K relativement à un antiautomorphisme involutif (cf. Algèbre involutive) σ de K (par exemple K le corps des nombres complexes et σ la conjugaison) est le groupe des matrices carrées A d'ordre n à coefficients dans K, qui sont unitaires pour σ, c'est-à-dire telles Aσ(^tA) = I_n. Plus généralement, on peut définir le groupe unitaire d'une forme hermitienne ou antihermitienne non dégénérée φ sur un espace vectoriel sur un corps comme étant le groupe des éléments f de GL(E) tels que φ(f(x), f(y)) = φ(x, y) quels que soient les vecteurs x et y de E.

Groupes unitaires complexes

Groupes unitaires compacts

U(n,ℝ) coïncide avec le groupe orthogonal O(n,ℝ). C'est pourquoi U(n,ℂ) est généralement abrégé en U(n), car la distinction n'est pas nécessaire.

Dans le cas où n=1, U(1) est isomorphe à l'ensemble des nombres complexes de module 1 (le cercle unité), muni de la multiplication.

U(n) est un groupe de Lie réel de dimension n². L'algèbre de Lie de U(n) est formée des matrices antihermitiennes complexes n×n.

Voir aussi

• Groupe spécial unitaire
• Groupe unitaire projectif (en)

• Portail des mathématiques