Diophante d'Alexandrie

Page couverture de l'édition de 1670 des Arithmetica, principal ouvrage de Diophante d'Alexandrie

Diophante d'Alexandrie (en grec ancien : Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς Dióphantos ho Alexandreús) (né vers 200/214 et mort vers 284/298) était un mathématicien grec. Surtout connu pour son étude des équations diophantiennes, il est surnommé le « père de l'algèbre ».

Biographie

Page 85 de l'édition de 1621 des Arithmétiques de Diophante

On connaît peu de choses de sa vie, même ses dates de naissance et de mort restent incertaines^[1]. Il vécut à Alexandrie. Son œuvre est en partie perdue.

Il est connu pour son étude des équations à variables rationnelles (∈ ℚ) et les équations diophantiennes furent nommées en son honneur. Son nom donne l'adjectif diophantien, souvent utilisé en théorie des nombres pour décrire un problème qui s'y rapporte.

Son ouvrage le plus important est son Arithmétique, qui influença les mathématiciens arabes et bien plus tard ceux de la Renaissance.

Diophante a aussi écrit un traité sur les nombres polygonaux, le plus ancien de cette science.

Diophante s'intéresse notamment aux problèmes suivants :

• Résolution d'équations quadratiques (du type ax² = bx + c) ;
• détermination de valeurs faisant de 2 expressions linéaires des carrés (ex. : trouver x tel que 10x+9 et 5x+4 soient tous deux des carrés) ;
• décomposition d'un nombre en somme de 2 carrés. Il semble que Diophante sache d'expérience que les entiers de la forme 4n+3 ne s'écrivent pas comme la somme de 2 carrés ;
• partage d'un carré en 2 carrés : il explique notamment comment partager 16 en somme de 2 carrés : (16/5)²+(12/5)². C'est en marge de ce problème que Fermat inscrit sur son exemplaire des Arithmetica sa fameuse note, selon laquelle il est impossible de partager un cube en 2 cubes, une puissance quatrième en 2 puissances quatrièmes, et plus généralement une puissance quelconque au-delà du carré, en 2 puissances du même exposant. Il faudra attendre 1995 pour avoir une démonstration de ce résultat par Andrew Wiles.

Son épitaphe

Mais il est également connu pour son épitaphe : problème, attribué à Métrodore (en) (vers 500), permettant de trouver l'âge de Diophante d'Alexandrie à sa mort. Ce problème partage la vie de Diophante en parties inégales représentées par des fractions et permet de calculer la durée de sa vie, soit 84 ans. Voici le problème en abrégé :
« L'enfance de Diophante occupa un sixième de toute sa vie. Le douzième fut pris par son adolescence. Après une nouvelle période équivalente au septième de sa vie, il se maria. Cinq ans plus tard, il eut un fils. La vie de ce fils fut exactement une demie de celle de son père. Diophante mourut quatre ans après la mort de son fils. »

Une version de ce problème a été composée en alexandrins^[2] par H. Eutrope^[3] :

La réponse revient à résoudre l'équation suivante : x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. On trouve x = 84 ans, âge auquel Diophante mourut.

On peut aussi interpréter le problème d'une autre manière : « le douzième fut pris par son adolescence » peut être compris comme « sa douzième année correspond à son adolescence » Ainsi, les 12 premières années de sa vie seraient un septième de sa vie totale : « des sept parts de sa vie, une encore s'écoula » ; sous-entendu que jusqu'à l'adolescence, il a vécu le premier septième de sa vie. Cela revient à résoudre l'équation suivante : x/7 = 12. On trouve là encore x = 84 ans.

Postérité

Diophante est « redécouvert » en Europe occidentale par Regiomontanus en 1463 grâce à un manuscrit ramené à Rome après la prise de Constantinople en 1453. Regiomontanus affirmait avoir vu 13 livres mais, jusqu'en 1971, seuls six livres subsistaient.

Les premières traductions de Diophante datent de la fin du XVI^e siècle : Rafaele Bombelli le traduit en italien en 1572 dans son Algebra, Xylander en latin en 1575, puis Simon Stevin en français en 1585 (seulement les quatre premiers livres). Albert Girard en 1625 et 1634 publiera dans les œuvres mathématiques de Simon Stevin la traduction des cinquième et sixième livres suivant le même modèle que Simon Stevin.

Il est ensuite traduit en latin, et annoté en latin et en grec, par Claude-Gaspard Bachet en 1621, puis à nouveau annoté par Pierre de Fermat à Toulouse en 1670 (après sa mort). L'ayant étudié au cours de sa jeunesse, Descartes affirmera de lui dans ses Règles pour la direction de l'esprit, en 1628, qu'il fait voir dans ses œuvres, de même que Pappus d'Alexandrie, les « traces de cette vraie mathématique », fruits des « semences de vérité, déposées par la nature dans l'esprit humain », qui « avaient tant de force dans cette rude et simple antiquité »^[4].

En 1935, l'Union astronomique internationale donne le nom de Diophantus à un cratère lunaire.

En 1971, quatre autres livres traduits en arabe sont découverts à Meshhed par Roshdi Rashed^[5].

Notes et références

Notes

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Références

Voir aussi

Bibliographie

• Arithmétique (vers 250), tome 3,  éd. et tr. Roshdi Rashed, Paris, Les Belles Lettres, 1984, Collection des Universités de France, ccvi-264p. (ISBN 2-251-00375-4)
• Arithmétique, tome 4,  éd. et tr. Roshdi Rashed, Paris, Les Belles Lettres, 1984, Collection des Universités de France, cxxxiv-322p. (ISBN 2-251-00376-2)
• (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Diophantus of Alexandria », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).

Liens externes

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