Degré (angle)

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Un angle de 45 degrés

Un degré, généralement représenté par ° (le symbole degré), est une mesure d'un angle plan, qui représente le 1/360 d'un tour complet ; un degré est aussi équivalent à $π$ /180 radians. Lorsque cet angle est en rapport avec un méridien de référence, il indique un emplacement le long d'un grand cercle d'une sphère, comme la Terre (voir Coordonnées géographiques), Mars ou la sphère céleste^[1]. Le rapport entre 365,25 (nombre de jours moyen de la rotation de la Terre autour du Soleil) et 360° (tour complet) est intéressant, et permet d'établir l'approximation suivante : « La Terre tourne d'environ un degré autour du Soleil chaque jour ».

Historique et généralités

Le degré, divisé en minutes et secondes qui sont des soixantièmes, vient des Babyloniens, qui comptaient en base 60 (sexagésimale). Les mathématiciens persan ont poursuivi et mesuré les angles célestes et terrestres de la même manière. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a découlé.

L'explication généralement répandue est que l’utilité originelle des 360° du système sexagésimal est de faciliter le calcul des fractions (et des multiplications). En effet, 360 étant le multiple de 1×2×3×4×5 par 3, il se divise par ces nombres ainsi que par 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. c’est-à-dire par toutes leurs combinaisons.

Ainsi : 3/5 – 1/3 = 9/15 – 5/15 = 4/15 correspond à 216° – 120° = 96° ce qui est plus aisément calculable sans calculateur que 0,6 – 0,333… = 0,266… Avec une légère familiarisation, et cela tout en se passant de la méthode du commun dénominateur, on s’aperçoit que le résultat 96° = 4 × 24° soit quatre quinzièmes. Une approche alternative aura aussi donné à voir que 90° + 6° est égal à un quart plus un soixantième, ou encore 60° + 36°, soit un sixième plus un dixième.


n	2	3	4	5	6	15/2	8	9	10	45/4	12	15	18
360° / n	180	120	90	72	60	48	45	40	36	32	30	24	20
60' ou " / n	30	20	15	12	10	8	7.5	6.666	6	5.333	5	4	3.333

Autres fractions rationnelles
n	2/9	1/4	4/15	3/10	1/3	3/8	2/5	5/12	4/9	7/15	8/15	5/9	7/12	3/5	5/8	2/3	7/10	11/15	3/4	7/9	4/5	5/6	7/8	8/9
n.360°	80	90	96	108	120	135	144	150	160	168	192	200	210	216	225	240	252	264	270	280	288	300	315	320

Finalement, du fait que 360° égale 0°, on se retrouve à calculer en modulo 360 lorsque l’on parle en degrés. On peut souvent opérer les calculs dans les modulos inférieurs que sont les multiplicateurs de 360. Au plus simple, sept demi-tours valent un demi-tour. En langage mathématique : 7 ≡ 1 (mod 2), sept est congru à un, modulo deux ; et 7 × 180° = 1260° ≡ 180° (mod 360°). En pratique, on se contente de dire sept fois cent quatre-vingts degrés est égal à cent quatre-vingts degrés. De même 120° + 270° = 390° ≡ 30° (mod 360°).

Mais la réalité sur l'origine des 360 degrés est vraisemblablement sensiblement différente. En effet, la figure géométrique la plus simple qui soit n'est pas le cercle, mais le triangle équilatéral, avec ses trois côtés et ses trois angles égaux. Il semble plus logique et plus cohérent de penser que les Sumériens, pour définir le degré d'angle, aient pris l'angle du triangle équilatéral comme référence et qu'ils l'ont, en application de leur base sexagésimale, divisé en 60 degrés, puis le degré en 60 minutes d'angle, puis la minute en 60 secondes d'angle.

La somme des angles d'un triangle étant égale à un angle plat (ou à deux angles droits), il s'en déduit que l'angle plat, qui est donc égal à 3 angles de triangle équilatéral, vaut 60×3=180 degrés, que l'angle droit qui en est la moitié vaut 90 degrés, et que le tour complet, qui vaut deux angles plats, mesure donc 360 degrés.

En résumé, le degré serait plutôt, par définition, la 60ème partie d'un angle de triangle équilatéral (angle de référence) et ce ne serait qu'en conséquence de cette définition qu'un tour complet mesurerait 360 degrés.

Par ailleurs, le fait que 360 soit un nombre divisible par beaucoup de nombres entiers ne doit rien au hasard. Il le doit à l'origine même du système sexagésimal utilisé par les Sumériens, puis par les Babyloniens, basé sur une méthode de calcul sur les phalanges qui serait encore de nos jours en usage au Viet-Nam.

Tout d'abord, ces peuples comptaient, sur une main, leurs phalanges avec le pouce ; le pouce défile sur les trois phalanges des quatre autres doigts, soit douze phalanges : on compte ainsi de 1 à douze, d'où la base 12 initiale, et le caractère de « plénitude » du nombre 12 : les 12 apôtres, les 12 représentants des 12 tribus d'Israël, les 12 heures du jour et les 12 heures de la nuit, etc. Ensuite, on utilise les doigts de l'autre main pour les retenues. Le pouce, en opposition à l'un des quatre autres doigts, permet de compter de 1 à 4 douzaines. Avec les deux mains, on compte ainsi jusqu'à 5×12 = 60.

Le nombre 360 est donc surtout le résultat, finalement, de la multiplication de 3 phalanges × 4 doigts d'une main × 5 douzaines × 6 angles de référence pour un tour complet de cercle. Le fait qu'il y ait 360 degrés dans un cercle n'apparaît ainsi plus comme un choix arbitraire en raison du nombre important des diviseurs de 360, mais bien comme le résultat d'un calcul cohérent.

Mesure d'angle plan

Le degré d’arc (symbole °) est une unité pratique d’angle plan. Un angle plat vaut 180°. Bien qu’en dehors du système international (SI), le degré est en usage avec lui.

Un degré vaut $π$ /180 radians, 10/9 grades ou 160/9 mils, soit 1/360 d’un tour complet.

Les préfixes du SI sont rarement appliqués aux symboles du degré d’arc et de ses subdivisions (uniquement à la seconde d’arc, en fait) ; ces symboles sont également les seuls à ne pas être séparés du nombre les précédant par une espace : on doit écrire « 12° 30′ » et non « 12 ° 30 ′ ».

Convertisseur de degrés et radians

Mesure d'angle solide

En astronomie de position, le degré carré est utilisé pour mesurer un angle solide^[2] sur la sphère céleste. Un degré carré vaut $\left(\frac{\pi}{180}\right)^2 = 3,046 \, 174 \times 10^{-4}$ stéradian.

Sous-unités

Article détaillé : Sous-unités du degré.

Un degré est subdivisé en 60 minutes d’arc (symbole ′), elles-mêmes divisées en 60 secondes d’arc (symbole ″).

1′ = 0,016 6…°
1″ = 0,000 277…°
1‴ = 0,000 004629…°
1⁗ = 0,000 000 07716049382…°

On utilise aussi fréquemment la notation décimale : on notera aussi bien « 12,5° » que « 12° 30′ », ou encore, « 48,59039° » que « 48°35'25,4" ». La préférence dépend ici de l'outil de calcul et/ou de mesure.

Précautions de lecture

Les fonctions trigonométriques sont indépendantes de l’unité angulaire choisie. Mais en analyse, les fonctions sont définies par les valeurs prises par les fonctions pour des variables exprimées en radians.

Pour x l’angle mesuré en degrés, on a donc sin(x°) = sin(x× $π$ /180), et de même pour les autres fonctions trigonométriques.

En astronomie ou en optique, on utilise l’approximation $\sin(\theta) \approx \tan(\theta) \approx \theta$ pour les faibles angles (inférieurs à 5°).

Le sinus et la tangente d’un angle faible sont quasi-égaux à sa valeur en radians.

Rappels

La minute désigne 1/60 degré, la seconde 1/60 minute d’arc, il n’y a aucun lien dans la définition avec les minutes et secondes horaires du cadran des montres, si ce n'est l'utilisation du système sexagésimal.
Les autres unités homonymes « minute », « seconde » d’ascension droite ou d’astronomie sont des mesures horaires utilisées surtout pour la mesure de la longitude céleste. En règle générale, quand aucune précision n’est donnée, on parle de minutes et de seconde d’arc et non pas d’ascension droite. Même en astronomie, on utilise également les unités dérivées du degré : le parsec, par exemple, est défini par rapport à la seconde d’arc.
De même, toute unité d’angle ou de direction angulaire qu’on appellerait « heure » n’a aucun lien dans sa définition avec les minutes et secondes d’arc (il y a plusieurs unités dont le nom comprend « heure » : voir les pages respectives pour les rapports de conversion).
Les fonctions trigonométriques peuvent être calculées à partir de la valeur de l’angle dans toute unité.

Notes et références

↑ (en) Petr Beckmann, A History of Pi (en), New York, St. Martin's Press,‎ 1971, 21 cm, 200 p. (ISBN 978-0-312-38185-1, OCLC 20761271)
↑ Michel Dubesset, Le manuel du Système international d'unités : lexique et conversions, Paris, Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pétrole. / Cours de l'École nationale supérieure du pétrole et des moteurs »,‎ 2000, 169 p. (ISBN 978-2-7108-0762-9, lire en ligne)

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