Équation d'onde

L'équation d'onde est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde, qui peut être représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle.

Une impulsion se propage à travers un fil à bouts fixes, comme modélisé par l’équation d’onde

Dans le cas vectoriel, en espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope, l'équation d'onde s'écrit :

\nabla ^2 \vec E=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2\vec E}{\partial t^2}

L'opérateur

\nabla^2=\Delta=\sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}

(où N est la dimension de l'espace) est appelé laplacien et on note parfois

\square=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta

l'opérateur d'onde, ou d'alembertien.

$\vec E$ décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). c est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde. Par exemple, dans le cas d'une onde sonore, c est la vitesse du son qui est de 343m/s dans l'air à 20 °C. Dans le cas de phénomènes plus complexes tel la propagation de l'onde variant avec sa fréquence (soit la dispersion), on remplace c par la vélocité de phase:

v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.

En s'intéressant à chacune des composantes de $\vec E$ (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de d'Alembert :

\Delta U=\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 U}{\partial t^2}

L'équation en dimension 1 d'espace

En dimension 1 d'espace, l'équation s'écrit

\frac {\partial ^2 U}{\partial z^2}=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}

Lorsque la variable z parcourt toute la droite réelle, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

U(z,t)=F(z-ct)+G(z+ct)\!

En effet, on peut écrire :

\left(\frac {\partial ^2}{\partial z^2}-\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2}{\partial t^2}\right) U(z,t) = 0

soit :

\left(\frac {\partial}{\partial z}-\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right)\left(\frac {\partial}{\partial z}+\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right) U(z,t) = 0

Et si l'on pose a=z-ct et b=z+ct, on obtient :

\left(\frac {\partial}{\partial a}\right)\left(\frac {\partial}{\partial b}\right) V(a,b) = 0

où

V(a,b)= U \left(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2c} \right)

qui se résout en : $V(a,b) = F(a) + G(b)$ soit $U(z,t) = F(z-ct) + G(z+ct)$

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Dans le cas d'un problème à condition initiale, les fonctions F et G sont directement liées à elles : pour des conditions initiales de la forme

\begin{cases} U(z,0) &= f(z),\\ \partial_t U(z,0) &= g(z)\end{cases}

la solution s'écrit sous la forme appelée « formule de d'Alembert » :

U(z,t) = \frac12 f(z-ct) + \frac12 f(z+ct) + \frac{1}{2c}\int_{z-ct}^{z+ct} g(s)\,\mathrm{d}s.

Équation d'onde en dimension 3

Dans le cas d'une onde scalaire dans un milieu homogène, il convient de travailler en coordonnées sphériques pour résoudre l'équation d'onde :

\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r}.

En réécrivant l'équation sous la forme :

\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 (ru)}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 (ru)}{\partial r^2}=0,

il vient, en reprenant les calculs faits sur le problème 1D, que la solution s'écrit sous la forme :

u(r,t) = \frac{1}{r} F(r-ct)+ \frac{1}{r} G(r+ct),

où F et G sont des fonctions arbitraires.

Il apparaît ainsi que les solutions sont des ondes sphériques, se propageant ou se rapprochant du point d'origine du repère, considéré comme un point source, où les ondes sont singulières tandis qu'elles s'éloignent avec une amplitude décroissante en 1/r.

Conservation de l'énergie

Si $u$ est une solution de l'équation des ondes alors l'énergie

E(u(t))=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left|\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)\right|^2\mathrm{d}x+\frac{c^2}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left|\nabla u(t,x)\right|^2\mathrm{d}x

est conservée au cours du temps. Ici on a noté $N$ la dimension d'espace et

\left|\nabla u(t,x)\right|^2=\sum_{j=1}^{N} \left|\frac{\partial u}{\partial x_j}(t,x)\right|^2

Équation dans un domaine borné avec condition au bord

On peut également considérer l'équation des ondes dans un domaine de l'espace D:

\square u(t,x) =0\quad t\in\mathbb{R},\quad x\in D

avec des conditions aux limites, par exemple:

u(t,x)=0,\quad t\in \mathbb{R},\quad x \in \partial D

(conditions aux limites de Dirichlet) où $\partial D$ est le bord du domaine $D$ , ou

\partial_{\nu} u(t,x)=0,\quad t\in\mathbb{R},\quad x\in \partial D

(conditions aux limites de Neumann) où $\partial_{\nu}$ est la dérivée normale extérieure au bord $\partial D$

Voir aussi

Onde sur une corde vibrante

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