Geometria projectiva

De Viquip??dia

La geometria projectiva ??s la branca de les matem??tiques que estudia les nocions intu??tives de ???perspectiva??? i d'???horitz?????. Analitza les propietats de les figures invariants per projecci??.

Taula de continguts

1 Consideracions hist??riques
2 Espai projectiu
- 2.1 Definici?? vectorial
- 2.2 Definici?? af??
3 Localitzaci??
- 3.1 Coordenades homog??nies
- 3.2 Generaci?? d'un espai projectiu
4 Subespai projectiu
5 Ra?? doble en una recta projectiva
6 Transformaci?? projectiva o homografia
- 6.1 Definici?? anal??tica de homografia
7 Topologia
8 Dualitat
9 Per a qu?? serveix la geometria projectiva ?
10 Bibliografia

[edita] Consideracions hist??riques

La geometria projectiva troba els seus or??gens en el treball de Pappos d'Alexandria (segle III) que va introduir la proporci?? no harm??nica i fa refer??ncia a un treball anterior d'Apol??loni de Perge (segle III aC). Posteriorment, la geometria projectiva, va ser estudiada en el segle XVII per matem??tics com Pascal o Desargues. Per?? va ser Poncelet, ja en el segle XIX que en el seu ???Tractat de les propietats projectives de les figures??? va recuperar definitivament la idea de la geometria projectiva. Finalment F??lix Klein, ja a finals del segle XIX, en el seu treball ???Una revisi?? comparativa de les recerques recents en la geometria???, va aclarir el lligam entre la geometria euclidiana i la geometria projectiva. ??s avui dia, ??mpliament utilitzada pels sistemes de visi?? per ordinador i de representaci?? gr??fica (OpenGL).

[edita] Espai projectiu

'Veieu article detallat: Espai projectiu

Un espai projectiu ??s definit en matem??tiques com el conjunt de les rectes vectorials d'un espai vectorial; en el que es pot imaginar l'ull d'un observador situat en l'origen d'un espai vectorial i cada element de l'espai projectiu correspon a una direcci?? de la seva mirada.

Un espai projectiu es diferencia d'un espai vectorial per la seva ???homogene??tat???: no es pot distingir cap punt particular com l'origen d'un espai vectorial. Aix?? acosta l'espai projectiu a l'espai af??.

[edita] Definici?? vectorial

Sigui $E\,\!$ un K-espai vectorial (K ??s un cos , en general $\R \,\!$ o $\mathbb{C} \,\!$ ), diferent de ${0}$ . Es defineix sobre $E-\{0\}\,\!$ la relaci?? d'equival??ncia seg??ent: $x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in K^*, x=\lambda y \,\!$ .

Llavors es diu espai projectiu sobre $E \,\!$ al conjunt quocient de $E - \{0\} \,\!$ per la relaci?? d'equival??ncia $\sim \,\!$ : $P(E) = (E - \{0\}) / \sim \,\!$ .

Per cada element $x \neq 0 \,\!$ de $E \,\!$ es designar?? $\pi(x) \in P(E) \,\!$ la seva classe d'equival??ncia: $\pi(x) = \{ \lambda x , \lambda \in K^* \} \,\!$ . Aix?? doncs: $\pi(x) = \pi(y) \,\!$ si i nom??s si $x \,\!$ et $y \,\!$ s??n col??lineals.

A l'aplicaci?? $\pi : E \rightarrow P(E)\,\!$ se l'anomena projecci?? can??nica.

Senzillament l'espai projectiu $P(E) \,\!$ ??s el conjunt de les rectes vectorials de $E \,\!$ ; l'element $\pi(x) \,\!$ de l'espai projectiu ??s la recta vectorial de $E \,\!$ en el que un vector director ??s $x \,\!$ .

Si $E \,\!$ ??s de dimensi?? finita $n \,\!$ , es diu que la dimensi?? de l'espai projectiu $P(E) \,\!$ ??s $n-1\, \!$ . En particular:

Si n=1 llavors $P(E) \,\!$ ??s un singlet?? (dimensi?? nul??la).
Si n=2 llavors $E \,\!$ ??s un pla vectorial i $P(E) \,\!$ s'anomena recta projectiva.
Si n=3 llavors $P(E) \,\!$ s'anomena pla projectiu; ??s la situaci?? pr??ctica m??s interessant de la geometria projectiva.

Si l'espai $E \,\!$ ??s l'espai vectorial de dimensi?? $n \,\!$ , ??s a dir, $K^n \,\!$ llavors, hi ha una notaci?? particular per a l'espai projectiu, $P^{n-1}(K) \,\!$ , en lloc de $P(K^n) \,\!$ .

[edita] Definici?? af??

Espai projectat en un pla projectiu

La definici?? m??s formal d'un espai projectiu no ens ha de fer perdre de vista que aquesta noci?? surt de la projecci?? central i ??s, abans que res, una noci?? geom??trica. Per posar un exemple de l'espai projectiu de $\mathbb{R}^3$ , ??s pot observar en l'adjunt dibuix que els punts m, n i r pertanyen al pla (P'). Imaginem-nos un observador situat a O. Aquest observador veu tots els punts de la recta (OM) en m, tots els de la recta (ON) en n, i tots els de la recta (OR) en r. En canvi, les rectes del pla (P) no s??n vistes com a punts del (P'). Hi ha, doncs, una bijecci?? entre les rectes vectorials de $\mathbb{R}^3$ no paral??leles a (P) i els punts del pla (P').

L'espai projectiu de $\mathbb{R}^3$ ??s bijectiu amb la uni?? del pla af?? (P') i el conjunt de rectes vectorial de (P). Aix?? doncs, un pla projectiu $\tilde{P'}$ est?? format per un pla af?? (P') que cont?? el conjunt de punts propis de $\tilde{P'}$ i a m??s, totes les rectes vectorials (o direccions) de (P'). Cada punt del segon conjunt, s'anomena punt impropi de $\tilde{P'}$ o punt de l'infinit.

Aquesta noci?? permet parlar, en un pla, d'interseccions entre dues rectes qualsevol: les rectes ??s trobaran en un punt propi de (P') o en un punt impropi, en el cas de rectes paral??leles.

Noci?? que es pot generalitzar a tot espai projectiu $\tilde P$ de dimensi?? n, sigui quin sigui el valor de n. Sempre, aquest espai projectiu, es podr?? considerar com a l'espai af?? (P) de dimension n, en el que s'ha adjuntat el conjunt de les direccions de (P).

En particular, si (P) = K, la recta projectiva associada ??s el conjunt $\tilde{K} = K \cup {\infty} \,\!$ en el que $\infty$ ??s un punt exterior a $K \,\!$ , allargant les operacions algebraiques de la seg??ent forma: $\forall x \in K , \frac{x}{\infty} = 0 \,\!$ , $\forall x \in K^* , \frac{x}{0} = \infty \,\!$

Aquesta doble relaci?? entre un espai vectorial quocient i un espai af?? complementat, d??na tota la riquesa al estudi de la geometria projectiva. Fins i tot, aquest doble aspecte ser?? important en el moment que es tractar?? de posar coordenades als punts de l'espai projectiu.

[edita] Localitzaci??

[edita] Coordenades homog??nies

Veure article detallat : coordenades homog??nies En un espai projectiu de dimensi?? n, associat a un espai vectorial de dimensi?? n+1, cada punt de P(E) est?? associat a una fam??lia de vectors de (E) tots col??lineals. Si E est?? prove??t d'una base can??nica, s'anomenen coordenades homog??nies del punt P, les coordenades d'un vector qualsevol x tal que $\pi(x) = m\,$ . Aix?? doncs, un punt t?? una fam??lia de coordenades totes proporcionals entre elles. Altrament dit, si $(x_1, x_2, ....., x_n)\,$ ??s un sistema de coordenades homog??nies de m, ??s el mateix que $(kx_1, kx_2, ....., kx_n)\,$ per a tot l'element k no nul de K.

A partir de totes aquestes coordenades possible, s'arriba sovint al conveni de distingir-ne una per tal de trobar l'espai af?? de dimensi?? n. ??s for??a normal privilegiar aquella que t?? per ??ltima coordenada el valor 1. Aix?? significa que s'ha projectar l'espai en l'hiperpl?? d'equaci?? $x_{n+1} = 1\,$ . Si $(x_1, x_2 ..., x_{n+1})\,$ ??s un sistema de coordenades de m, s'ha privilegiat el sistema de coordenades $({x_1\over x_{n+1}}, {x_2 \over x_{n+1}}, ..., {x_n \over x_{n+1}} , 1)\,$ . Aix?? nom??s ??s valid si m ??s un punt propi de P(E).

Els punts impropis estan representats per sistemes de coordenades homog??nies en les que l'??ltima coordenada ??s nul??la.

Aix?? fa que es noti molt la correspond??ncia entre:

els punts propis de P(E) i els punts d'un espai af?? de dimensi?? n.
Els punts impropis de P(E) i les direccions d'un espai vectorial de dimensi?? n.

L'elecci?? arbitr??ria de posar una coordenada a 1 en les coordenades homog??nies permet distingir amb molta facilitat, els elements.

[edita] Generaci?? d'un espai projectiu

'Article detallat: Refer??ncia projectiva'

A partir d'una base de n vectors independents, es genera un espai vectorial de dimensi?? n. Un espai af?? de dimensi?? n es genera a partir de n+1 punts independents. Un espai projectiu de dimensi?? n es genera a partir de n+2 punts. Es podria pensar que n+1 punts s??n suficients, per?? aix?? no ??s aix??. Si, per exemple, s'agafa $(\pi(e_1), \pi(e_2),...,\pi(e_{n+1}))\,$ en qu?? $(e_i)_{i \in \{1 ; n+1\}}$ forma un base de l'espai vectorial de dimensi?? n+1 associat a l'espai projectiu, llavors, les coordenades d'un punt m serien $(x_1, ..., x_{n+1}) \,$ on $(x_1, ..., x_{n+1})\,$ s??n les coordenades de $x\,$ tals que $\pi(x)= m\,$ . Per?? caldria que aquestes coordenades fossin independents de la representaci?? escollida pels vectors de la base: $\pi(e_1)\,$ . Si s'agafa un altre representant , per exemple, $2e_1\,$ , a partir de la base $(2e_1, e_2, ..., e_{n+1})\,$ , $x\,$ no t?? el mateix sistema de coordenades $(x_1/2, x_2, ..., x_{n+1)}\,$ . Cal evitar aquesta ambig??itat i limitar la selecci?? d'altres representats dels vectors de la base a uns vectors col??lineals als precedents, per?? amb el mateix coeficient de col??linealitat. ??s suficient, per a aconseguir ho escollir un (n+2)-??ssim punt igual a $\pi(e_1 + e_2 + ...+ e_n)\,$ . Aix??, si s'han escollit uns altres representats de $\pi(e_1) ...\pi(e_{n+1})\,$ amb coeficients de col??linealitat diferents, el vector $k_1e_1 + ... + k_{n+1}e_{n+1}\,$ ja no ser?? un representant de $\pi(e_1 + e_2 + ...+ e_{n+1})\,$ .

[edita] Subespai projectiu

Veure article detallat : Subespai projectiu De la mateixa forma que existeixen subespais vectorials d'un espai vectorial, i subespais afins d'un espai af??, tamb?? existeixen subespais projectius d'un espai projectiu. Estan constitu??ts per les projeccions dels subespais vectorials de l'espai vectorial associat. Es parlar?? de recta projectiva en un pla projectiu, de pla projectiu en un espai projectiu. La regla de les dimensions i la exist??ncia de punts de l'infinit, permeten simplificar les regles d'incid??ncia.

[edita] Ra?? doble en una recta projectiva

Veure article detallat: relaci?? no harm??nica

Si a, b, c i d s??n 4 punts (a,b i c diferents) d'una recta projectiva D, existeix un ??nica isomorfisme de D en $\tilde K$ , $f a, b, c$ tal que

$f_{a, b, c}(a) = \infty$
$f_{a, b, c}(b) = 0\,$
$f_{a, b, c}(c) = 1\,$

S'anomena ra?? doble de a, b, c, d, i s'escriu [a:b:c:d] al valor de $f a, b, c (d)$ .

Si a, b, c i d s??n 4 punts propis diferents de D, trobem la cl??ssica definici?? de la ra?? doble o relaci?? no harm??nica:

$\frac{\overline {ca}\, / \,\overline {cb}}{\overline {da}\, / \,\overline {db}}$

[edita] Transformaci?? projectiva o homografia

Article ?? desenvolupar: Transformaci?? projectiva Les transformacions projectives o homografies s??n transformacions estudiades en la geometria projectiva. S'obtenen com a composici?? d'un nombre finit de projeccions centrals. Descriuen all?? que arriba a les posicions observades de diferents objectes quan l'ull de l'observador canvia de lloc. Les transformacions projectives no conserven sempre les dist??ncies ni els angles per?? conserven les propietat d'incid??ncia i la ra?? doble (dues propietats importants en geometria projectiva). Es troba transformacions projectives sobre rectes en plans i en l'espai.

Propietat fonamental : En dimensions finites, una transformaci?? projectiva est?? totalment determinada per la imatge d'una base de l'espai projectiu.

[edita] Definici?? anal??tica de homografia

Siguin 2 espais projectius $\mathcal P_1$ i $\mathcal P_2$ associats respectivament als espais vectorials $\quad E_1$ i $\quad E_2$ . Es designa per $\quad \pi_1$ i $\quad \pi_2$ les projeccions can??niques de $\quad E_1$ (resp. $\quad E_2$ ) en $\mathcal P_1$ (resp. $\mathcal P_2$ ). Llavors es pot efectuar un ???pas la quocient??? de les aplicacions lineals ???injectives??? de $\quad E_1$ en $\quad E_2$ . Trobada aquesta aplicaci?? lineal $\quad \varphi$ , es pot definir una aplicaci?? $\quad h$ de $\mathcal P_1$ a $\mathcal P_2$ , que transforma el punt $\quad M$ en $h(M)=\pi_2 \circ \varphi (m),\quad m$ designa un representant de $\quad M$ . Evidentment, per tal que aquesta definici?? sigui coherent, cal verificar que no dep??n del representant escollit. Aix?? ??s immediat si es t?? en compte la lineal??litat de $\varphi$ i la definci?? de $\quad \pi_2$ .

L'aplicaci?? $\quad h$ ??s l'homografia associada a $\quad \varphi$ . I de forma m??s concisa definida per la igualtat: $\pi_2 \circ \varphi = h \circ \pi_1$ .

Tamb?? es pot parlar m??s generalment d'aplicaci?? projectiva, sense exigir la injectivitat de l'aplicaci?? lineal $\quad \varphi$ inicial. El mateix pas al quocient, subministrar?? una aplicaci?? definida nom??s sobre una part de $\mathcal P_1$ : $\mathcal P_1-\pi_1^{-1}(\ker(\quad \varphi))$ , i v??lida a $\mathcal P_2$ . En aquest cas no es parlar?? d'homografia.

Existeixen una infinitat d'aplicacions lineals associades a una homografia, per?? aquestes aplicacions lineals formen ???una recta vectorial??? de $\mathcal L(E_1,E_2)$ ja que $\quad h_1=h_2$ implica $\pi_2 \circ \varphi _1=\pi_2 \circ \varphi _2$ . En dimensions finites n,p, si t?? un sistema de coordenades homog??nies, una homografia pot ser definida per una classe de matrius no nul??les de format (n+1)*(p+1) totes m??ltiples d'una d'elles. Sigui A una d'aquestes matrius i X una matriu columna de coordenades homog??nies de $\quad M$ , AX ser?? una matriu columna de coordenades homog??nies de $\quad h(M)$ .

Exemple i discusi??: (geometria plana). Si agafem per $\quad E_1$ i $\quad E_2$ l'espai $\mathbb R^3$ . $\mathcal P_1 = \mathcal P_2$ ??s el pla projectiu $\mathcal P$ . Considerem una homografia $\quad h$ definida per la matriu 3*3 A que suposem ???diagonalitzable???. Aix?? doncs, podem calcular les coordenades homog??nies de les transformades de qualsevol punt. Les 3 direccions pr??pies son independents i defineixen 3 punts ???invariants per" $\quad h$ de $\mathcal P$ . Aquests 3 punts tenen respectivament com matrius columna de coordenades homog??nies $X_1, X_2, X_3\,$ (vectors propis de la matriu, i el factor no nul que s'han pres). Inversament, ??el coneixement d'aquests 3 punts invariants determinen la homografia A, amb un factor donat?. Per aix?? caldria poder calcular els valors propis de A (amb un factor de proporcionalitat donat sempre). Per tant no hi ha cap mitj?? per aix?? si nom??s es coneixen les direccions pr??pies. Per contra si es d??na, per exemple la transformada del punt de coordenades homog??nies $X 1 + X 2 + X 3$ en el punt de coordenades homog??nies $Y$ , designant per $?? 1,?? 2,?? 3$ els valors propis de A: $\lambda_1X_1+\lambda_2X_2+\lambda_3X_3=kY,\quad k$ qualsevol no nul, la qual cosa permet resoldre el sistema de valors propies amb un coeficient de proporcionalitat donat. Els 4 punts (els 3 punts invariants m??s el 4t definit d'aquest forma) defineixen un ???generador projectiu??? i el coneixement de la transformaci?? d'aquest generador determinen totalment l'homografia.

[edita] Topologia

Si E ??s un espai vectorial sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$ de dimensi?? finita, es pot definir a E una topologia generada per la dist??ncia $||x|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + .... + x_n^2}$ .

Aquesta topologia indueix l'espai quocient $P (E) = E ??? 0 / ??$ . D'aqu?? resultar?? l'espai projectiu P(E) d'aquesta topologia. Aix?? permet parlar de morfisme et fer notar que la recta projectiva real ??s homomorfa a un cercle, i la recta af?? complexe ??s homomorfa a una esfera.

[edita] Dualitat

Si E ??s un K-espai vectorial de dimensi?? finita n, el seu dual E* ??s tamb?? un K-espai vectorial de dimensi?? n. Es pot doncs, associar a l'espai projectiu P(E), al seu dual P(E*). Una recta de P(E*) correspondr?? a un feix d'hiperplans a P(E). El pas al dual permet capgirar un gran nombre de propietats geom??triques.

[edita] Per a qu?? serveix la geometria projectiva ?

La geometria projectiva ha perm??s simplificar teoremes de la geometria plana com ara el teorema de Papon o el teorema de Desargues.

Prove??t d'una topologia, l'espai projectiu ??s el punt de partida de l'estudi de la geometria diferencial

Amb el desenvolupament de la representaci?? en 2D,objectes en 3D, la geometria projectiva ha evidenciar el poder de les eines que entren en joc.

[edita] Bibliografia

G??om??trie (Tome I) de Marcel Berger
Petite encyclop??die de math??matique (Ed. Didier)
M??thodes modernes en g??om??trie de Jean Fresnel

Categoria: Geometria