Axiomes de la geometria
De Viquip??dia
Els axiomes de la geometria s??n setze axiomes (proposicions que admetem vertaderes malgrat no es puguin demostrar) que parlen sobre l'exist??ncia i propietats dels ens fonamentals de la geometria: el punt, la recta, el pla i l'espai. Els axiomes de la geometria se solen agrupar en sis classes. En geometria euclidiana es t??, a m??s, l'axioma de paral??lelisme.
Taula de continguts |
[edita] Axiomes d'exist??ncia
1. Existeixen infinits ens denominats punts. El conjunt de tots els punts s'anomena espai.
2. Es poden considerar conjunts d'infinits punts, subconjunts parcials dels infinits punts que formen l'espai, que s'anomenen plans. Dins d'un pla, es poden considerar conjunts d'infinits punts, anomenats rectes i que s??n subconjunt parcial dels infinits punts que formen un pla. Els punts d'una recta es diu que estan alineats.
[edita] Axiomes d'enlla?? o d'incid??ncia
3. Per dos punts diferents hi passa una recta i nom??s una. Aix??, una recta queda definida per dos punts.
4. Per tres punts diferents i no alineats hi passa un pla i nom??s un. Aix??, un pla queda definit per tres punts no alineats.
5. Si dos punts d'una recta estan en un pla, llavors tots els altres punts de la recta tamb?? estan continguts en aquest pla.
[edita] Axiomes d'ordenaci??
6. La recta ??s el conjunt de punts linealment ordenat, obert i dens, on:
-
-
- Linealment ordenat significa que, donada una terna de punts, A, B i C, si A precedeix B i B precedeix a C, llavors A precedeix a C.
- Obert significa que no existeix ni un primer ni un ??ltim punt.
- Dens significa que entre dos punts d'una recta sempre n'hi ha infinits m??s, de manera que no existeixen punts consecutius.
-
[edita] Axiomes de divisi??
7. Tota recta continguda en un pla estableix una divisi?? dels punts del pla no continguts en la recta en dues ??niques regions tals que tot punt del pla exterior a la recta pertany a una o altra regi??, i de manera que, escollits dos punts que pertanyin a diferents regions, la recta que els cont?? t?? un punt situat entre ells que pertany a la recta original i viceversa.
8. Tot pla estableix una divisi?? dels punts de l'espai no continguts en ell en dues ??niques regions tals que tot punt exterior al pla pertany a una o altra regi??, i de manera que, escollits dos punts que pertanyin a diferents regions, la recta que els cont?? t?? un punt situat entre ells que pertany al pla original i viceversa.
[edita] Axiomes de moviment
9. Existeixen unes transformacions puntuals i biun??voques anomenades moviments (a cada punt li correspon un i nom??s una nova posici??).
10. Tot moviment del pla conserva les relacions d'incid??ncia i d'ordenaci??.
11. Tot moviment en l'espai conserva les relacions d'incid??ncia i d'ordenaci??, i a m??s, conserva el sentit.
12. Axioma de rigidesa: Cap moviment pot transformar un conjunt de punts en una part d'ells.
13. La transformaci?? resultant de dos moviments ??s una altre moviment.
14. La transformaci?? inversa de tot moviment ??s un altre moviment.
15. Axioma de determinaci?? del moviment: existeix un ??nic moviment que transforma una recta en una altra recta i un pla que cont?? aqueslla recta en un altre pla que cont?? la recta transformada i un punt qualsevol exterior a la recta en un altre punt exterior a la recta transformada.
Es diu que dues figures s??n iguals o congruents si existeix un moviment que transforma una en l'altra.
[edita] Axiomes de continu??tat
16. Axioma de Dedekind: Donada una classificaci?? dels punts d'una recta en dues regions que compleix:
-
-
- Existeixen punts de la recta d'una i altra regi??.
- Tot punt de la recta pertany a una o altra regi??.
- Tot punt d'una regi?? precedeix a tot punt de l'altra regi??.
- llavors existeix un sol punt de la recta tal que tots els punts que el precedeixen pertanyen a la primera regi?? i tots els punts que el segueixen pertanyen a la segona regi??.
-
[edita] Axioma del paral??lelisme en geometria euclidiana
Els axiomes enunciats anteriorment s??n comuns en totes geometria absoluta. En geometria euclidiana, s'afegeix el seg??ent postulat:
17. Axioma del paral??lelisme: Per un punt exterior a una recta, hi passa una (i nom??s una) recta tal que les dues estan contingudes en un mateix pla i no tenen entre elles cap punt en com??. Aquesta recta es diu que ??s paral??lela a la primera i viceversa.
Temes relacionats: geometria, espai, pla, recta, punt, semipl??, semirecta, angle
