頂點代數 - 維基百科，自由嘅百科全書

# 頂點代數

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頂點代數,又叫[1]頂點算子代數(en:Vertex Operator Algebra, VOA) 係共形場論(保角場論)嘅代數結構。其應用包括魔群月光猜想(en:Monstrous moonshine)同埋幾何化朗蘭兹綱領。

1986 年，Richard Borcherds 受二維共形場論中用以插入場之頂點算子啓發，提出頂點算子代數結構。 重要例子有：

- 晶格頂點算子代數（用以研究晶格共形場論），
- 來自仿射Kac-Moody 代數嘅表示嘅頂點算子代數 （用以研究 Wess-Zumino-Witten 模型），
- 來自仿射 Virasoro 代數嘅表示嘅Virasoro 頂點算子代數 （可用以研究極小模型），
- I. Frenkel-J.Lepowsky-A.Meurman（於1988年)構造 嘅月光模(en:Moonshine module)V♮。

定義頂點算子代數嘅各公理抽象自物理學人所謂嘅手徵代數(en:Chiral algebra)，其嚴格數學定義由 Beilinson 同埋 Drinfeld 提出。

## [編輯] 定義

一嚿頂點代數由以下資料組成：

- 向量空間V,
- 「單位元」1 V ,
- 自態射 T,
- 乘法性映射: 或書作 ；

並滿足以下條件：:

1. (單位)V中每一元 a,都符合
     Y(1,z)a = a = az0 and
2. (位移) T(1) = 0, 且V中每元a, b, 都符合
3. (四頂點函數)V中每元a, b, c , 都符合
   其中 Y(a,z)Y(b,w)c, Y(b,w)Y(a,z)c, 與 Y(Y(a,z-w)b,w)c 分别係 X(a,b,c;z,w) 在V((z))((w)) , V((w))((z)), 與 V((w))((z-w))中之級數展開式.

此乘法映射常被寫作「狀態——場 對應」(en:state-field correspondence)：

  ,

給V中每一向量配上一支以算子為值嘅形式分佈(「頂點算子」)；其物理意義係喺原點插入一算子。T則係無窮小位移嘅一粒生成元。 「四頂點函數」公理統一咗（誤差唔過奇異值嘅）結合律與交換律。 位移公理涵蘊 Ta = a-21, 故Y 之值決定了T 之值。

### [編輯] 分級頂點代數

一Z+-分級頂點代數係

- 一頂點代數V:

使每a ∈ Vk 與 b ∈ Vm, 符合an b ∈ Vk+m-n-1.

設有一Z+-分級頂點代數. 其一 Virasoro 元 為 V中2 一元 ω , 使頂點算子

符合以下條件: Vn 中每一元 a符合:

- L0a = na

其中 c 係一常值，叫「中心荷」(en:central charge)， 或「V之秩」(en:rank)。 此亦使V成為 Virasoro 代數之一表示。

## [編輯] 參攷

- Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
- Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
- Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
- Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10., 亞美利根數學會, 1996. ISBN 0-8218-0643-2

## [編輯] 註

1. ↑ 註：頂點代數之定義有幾種大同小異之版本；請參攷有關專著。

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分類: 楔位文章 | 李代數 | 共形場論

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