Hopf代數 - 維基百科，自由嘅百科全書

# Hopf代數

### 出自維基百科，自由嘅百科全書

Hopf 代數(Hopf Algebra)係種代數結構，喺李雙代數上再加一重結構：對頂算子(antipode)。Hopf 代數喺代數拓樸同表示論都會出現，亦係研究量子羣嘅理論基礎。

## [編輯] 定義

設有

- k －一交換環；

k上嘅一Hopf 代數係序列 (A,∆, ∊,μ,ι,S) ，其中

- A 係 k 上嘅代數，亦同時係 k 上嘅逆代數(co-algebra)；
- 逆積影射 ∆: A-->A ⊗ A 同埋逆單位元 ∊:A-->k 都同時係 k-代數 影射；
- 代數積 μ: A⊗A -->A 同 單位元 ι: k-->A 同時係逆代數影射；
- k-模影射 S:A-->A ［叫做對頂算子(antipode)］，令下面嘅圖交換：

                S⊗id
    A⊗A -------> A⊗A
        ↑                       | μ
        |  ∆                   ↓
      A    -------->      A
              ι ∙∊

               id⊗S
    A⊗A -------> A⊗A
       ↑                         | μ
        | ∆                     ↓
      A    -------->     A
              ι∙∊

兩Hopf代數間嘅態射(morphism) f: A-->B 係 支 k-模影射，同時係A同B上嘅代數結構同埋逆代數結構嘅態射。

## [編輯] 例

- 有限羣G嘅羣環 k[G]
- 羣上嘅函數環
- 包絡代數
- 量子羣
- 李羣嘅同調[1]

## [編輯] Hopf 代數嘅表示

- 伴隨(adjoint)表示[2]: ad(a ⊗ a') = ∑_i ai a' S(ai); ∑ ai⊗ai := ∆(a)

- Trivial 表示
- 正則(regular)表示

## [編輯] 唔變積分

好似緊緻李羣，Hopf代數上都有不變積分嘅概念：

設

- A 係 域 k 上嘅Hopf 代數。
- 1∈ k。

定義：

- 左不變積分 H 係 A* 嘅一元，使到

  > 〈 α ⊗ H , ∆(a)〉= 〈α , 1〉〈H, a〉。

### [編輯] 例

設

- G －緊李羣
- dμ －Haar 測度
- f －G嘅有限維表示嘅矩陣元
- 〈H, f〉:= ∫G f dμ

[3]

## [編輯] 更深入嘅結構

- 幾乎交換 Hopf 代數(A, R) (en:Almost commutative Hopf algebra)：其中 A 係一 Hopf 代數，R 係 A⊗A 中嘅可逆元，令到A 中每一 元a ，有 ∆op (a) = R∙ ∆(a)∙ R-1 ; 其中∆op (a) = P∙∆(a); 而P係對掉算子： P(a⊗b) = b⊗a . [4]
- 半三角 Hopf 代數(en:Quasi-triangular Hopf algebra)

## [編輯] 亦睇下

- 擬Hopf 代數 (en:quasi-Hopf algebra)
- 張量範疇

## [編輯] 註

1. ↑ Chari - Pressley: p.108
2. ↑ Chari, Pressley: p.110
3. ↑ Chari - Pressley: p.115
4. ↑ Chari-Pressley, p.119

## [編輯] 攷

- Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley:《A Guide to Quantum Groups》,1995, ISBN 0521558840.

| 呢篇Hopf代數係楔位文章，仲未完成嘅。麻煩你幫手補充佢嘅內容。

由 "http://zh-yue.wikipedia.org../../../h/o/p/Hopf%E4%BB%A3%E6%95%B8.html" 接收

分類: 楔位文章 | 代數結構

##### Views

- 文章
- 討論
- 家下嘅版本

##### 交流

- 關於維基百科
- 社區大堂
- 城市論壇
- 詢問處
- 聯絡我哋
- 慷慨解囊
- 幫手

##### 搵嘢

##### 其他語言

- English